一、測(cè)量誤差的概念及分類

測(cè)量誤差的定義為：“測(cè)得的量值減去參考量值”。其中，測(cè)得的量值也可稱為測(cè)得值，是表示測(cè)量結(jié)果的量值。參考量值也可稱為參考值，可以是被測(cè)量的真值；可以是給定的一個(gè)約定量值（即約定真值）；可以是具有可忽略測(cè)量不確定度的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)賦予的量值（簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)量值）。

測(cè)量誤差是由隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差構(gòu)成的，這兩類分量都各有其誤差值（帶有正或負(fù)的符號(hào)），它們的代數(shù)和構(gòu)成了測(cè)量誤差。

隨機(jī)誤差的定義為：“在重復(fù)測(cè)量時(shí)按不可預(yù)見的方式變化的測(cè)量誤差的分量”。其特點(diǎn)是,當(dāng)測(cè)量次數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)，隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望趨于零。隨機(jī)誤差等于測(cè)量誤差減去系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差定義為：“在重復(fù)測(cè)量時(shí)保持恒定不變或按可預(yù)見的方式變化的測(cè)量誤差分量”。其特點(diǎn)是，測(cè)量誤差的數(shù)學(xué)期望即為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差等于測(cè)量誤差減去隨機(jī)誤差。

從隨機(jī)誤差引出殘差的概念，將“測(cè)量列中的一個(gè)測(cè)得值與該測(cè)量列算術(shù)平均值之差”稱為殘差。

此時(shí)，隨機(jī)誤差的最佳估計(jì)值就是殘差。殘差又稱為殘余誤差或剩余誤差，是指測(cè)量列中的一個(gè)測(cè)得值與該測(cè)量列算術(shù)平均值之差。

殘差是計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差和測(cè)量不確定度的必不可少的參數(shù)。殘差有兩個(gè)特性：一是測(cè)量列中n個(gè)殘差的代數(shù)和等于零；二是測(cè)量列中n個(gè)殘差的平方和為最小。因而，實(shí)際應(yīng)用中，一般都是用測(cè)得值減去算術(shù)平均值所得值作為隨機(jī)誤差的最佳估計(jì)值。

修正值是指：以代數(shù)法相加于未修正測(cè)得量值，以補(bǔ)償系統(tǒng)誤差的值。因此，修正值等于負(fù)的系統(tǒng)誤差。修正因子是指：為補(bǔ)償系統(tǒng)誤差而對(duì)未修正測(cè)得量值相乘的數(shù)字因子。

修正后的測(cè)量結(jié)果中，由系統(tǒng)效應(yīng)引起的系統(tǒng)誤差的數(shù)學(xué)期望為零。

研究隨機(jī)誤差的關(guān)鍵是掌握殘差的特性和應(yīng)用方法，正確運(yùn)用殘差計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差和測(cè)量不確定度。因?yàn)閷?shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差是殘差平方和除以自由度所得之商的平方根，即沒有殘差就無(wú)法計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

研究系統(tǒng)誤差的關(guān)鍵是掌握如何確定系統(tǒng)誤差的常數(shù)，并將其作為修正值以補(bǔ)償或減少誤差的影響。因?yàn)樾拚档扔谪?fù)的系統(tǒng)誤差，如果不能確定系統(tǒng)誤差的常數(shù)，而只是作一般的分析和評(píng)定是沒有任何實(shí)際意義的。測(cè)量誤差理論是測(cè)量不確定度評(píng)定的理論基礎(chǔ)。

二、概率論的基本知識(shí)

為了在數(shù)學(xué)上把某一事件出現(xiàn)的可能性表示出來(lái)，就需要聯(lián)系到概率的概念。設(shè)隨機(jī)事件在次試驗(yàn)中發(fā)生了次，則其比值稱為隨機(jī)事件的頻率，記作。                              

由隨機(jī)事件的頻率穩(wěn)定性可以看出，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性可以用一個(gè)數(shù)值來(lái)表示，這個(gè)數(shù)值就是概率，其定義為：將表示隨機(jī)事件在試驗(yàn)中發(fā)生的可能性程度的，小于1的正數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率。

當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)窮大時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生頻率的極限值就是概率。

頻率是實(shí)驗(yàn)次數(shù)有限時(shí)定義的，概率是實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)窮大時(shí)定義的。當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)有限時(shí)，可以用頻率來(lái)代替概率；當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)窮大時(shí)，頻率和概率就是一回事。

為了研究連續(xù)型隨機(jī)變量的理論分布，進(jìn)而引進(jìn)隨機(jī)變量的分布函數(shù)概念和概率分布密度的概念。隨機(jī)變量的概率密度等于分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即分布函數(shù)是分布密度的原函數(shù)。

隨機(jī)變量的概率隨取值而變化的規(guī)律稱為隨機(jī)變量的概率分布，而概率分布可用概率分布密度函數(shù)來(lái)描述，概率分布密度函數(shù)的圖形通常叫做分布曲線，通過分布曲線的分析，可以得出概率分布的相關(guān)性質(zhì)。常用隨機(jī)變量的概率分布主要有正態(tài)分布、均勻分布、三角分布、t分布等。

正態(tài)分布密度函數(shù)是一個(gè)指數(shù)方程式，一般稱為高斯方程式或高斯分布。在測(cè)量實(shí)踐中，均勻分布也是常見的一種分布，其特點(diǎn)是在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。因此，均勻分布又稱為矩形分布或等概率分布。

當(dāng)隨機(jī)變量的取值服從某分布時(shí)，落在某區(qū)間的概率即為置信概率。在不確定度評(píng)定中，置信概率又稱為包含概率，是指在擴(kuò)展不確定度確定的測(cè)量結(jié)果的區(qū)間內(nèi)，合理地賦予被測(cè)量之值分布的概率

測(cè)得量值的數(shù)學(xué)期望是指對(duì)同一個(gè)被測(cè)量進(jìn)行無(wú)窮多次重復(fù)測(cè)量所得算術(shù)平均值的極限。                  

為了判定隨機(jī)變量的各觀測(cè)值相對(duì)平均值的離散程度，可用離差平方的數(shù)學(xué)期望作為隨機(jī)變量的另一個(gè)數(shù)字特征。一般習(xí)慣上稱其為隨機(jī)變量的方差。

概率論中用來(lái)闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理稱為大數(shù)定律。大數(shù)定律的內(nèi)容是：當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)窮大時(shí)，可用算術(shù)平均值代替數(shù)學(xué)期望，即在這種情況下，算術(shù)平均值和數(shù)學(xué)期望是一回事；當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)窮大時(shí)，可用頻率代替概率，即在這種情況下，頻率和概率是一回事。

中心極限定理的內(nèi)容是：大量的獨(dú)立隨機(jī)變量之和，具有近似于正態(tài)的分布。

三、隨機(jī)誤差的分布與估計(jì)

隨機(jī)誤差是一種由多種隨機(jī)因素的影響而產(chǎn)生的不確定性誤差，而不確定性誤差是以不確定度表征的誤差。

隨機(jī)誤差服從于正態(tài)分布，其隨機(jī)誤差取各可能值的概率大小，可用正態(tài)分布密度函數(shù)表示，通過對(duì)正態(tài)分布曲線的分析，可以總結(jié)出隨機(jī)誤差的以下四個(gè)特征：

1.絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等。

2.絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。

3.在一定的測(cè)量條件下，隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的界限。

4.隨著測(cè)量次數(shù)的增加隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零。

可以看出，在正態(tài)分布密度函數(shù)中，有兩個(gè)非常重要的參數(shù)，就是數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差。它是測(cè)量誤差的數(shù)字特征，也是測(cè)量不確定度評(píng)定的理論基礎(chǔ)。

算術(shù)平均值是指重復(fù)測(cè)量的全部測(cè)得量值的代數(shù)和除以測(cè)量次數(shù)所得之值。在實(shí)際測(cè)量中，用算術(shù)平均值來(lái)表征測(cè)得量值的最佳估計(jì)值。

對(duì)誤差值而言，如誤差值的數(shù)學(xué)期望不為零，說明有系統(tǒng)誤差存在；如誤差值的數(shù)學(xué)期望為零，說明無(wú)系統(tǒng)誤差存在。

標(biāo)準(zhǔn)偏差是表征測(cè)量結(jié)果分散性的重要參數(shù)，采用貝塞爾公式可計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)偏差的值?？梢钥闯?，通過測(cè)量誤差引出了算術(shù)平均值，通過算術(shù)平均值引出了殘差和自由度，進(jìn)而引出了實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差用來(lái)表征對(duì)同一被測(cè)量作n次測(cè)量結(jié)果的分散性。而表征合理地賦予被測(cè)量之值的分散性，又與測(cè)量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)就是測(cè)量不確定度。因此，實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差是測(cè)量不確定度評(píng)定的重要參數(shù)，也是測(cè)量不確定度評(píng)定的理論基礎(chǔ)。

在n次獨(dú)立的測(cè)量中，取n次測(cè)量值算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，要比取一次值可靠倍。即n次測(cè)得量值的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差與成反比。

應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出，無(wú)論是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差還是實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，都不是一個(gè)具體的誤差。它的數(shù)值大小只不過說明在一定條件下進(jìn)行一系列測(cè)量時(shí)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率密度分布情況。值小則表明測(cè)得量值比較集中，值大則表明測(cè)得量值比較分散。

所以在測(cè)量中，用算術(shù)平均值作為測(cè)得量值的最佳估計(jì)值，用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征測(cè)得量值的分散程度。

四、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與消除

要正確理解系統(tǒng)誤差。在測(cè)量過程中所產(chǎn)生的誤差，如果它們的數(shù)值是保持恒定不變或按可預(yù)見的方式變化的，那么就稱這種誤差為系統(tǒng)誤差?？梢钥闯?，系統(tǒng)誤差的出現(xiàn)一般是有規(guī)律的，其產(chǎn)生的原因往往是可預(yù)知或可掌握的。一般來(lái)說，應(yīng)盡可能設(shè)法預(yù)見到各種系統(tǒng)誤差的來(lái)源并設(shè)法消除其影響；同時(shí)還要設(shè)法確定或估計(jì)系統(tǒng)誤差恒定不變的常數(shù)，將其作為修正值在測(cè)量結(jié)果中加以修正。

要搞清楚系統(tǒng)誤差的來(lái)源。由于系統(tǒng)誤差不可能通過對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的概率統(tǒng)計(jì)方法來(lái)發(fā)現(xiàn)和消除，因而就會(huì)嚴(yán)重影響其測(cè)量結(jié)果。因此，在測(cè)量前一定設(shè)法了解一切可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來(lái)源并設(shè)法消除它，使其影響能減弱到可以忽略的程度。所以應(yīng)了解系統(tǒng)誤差的來(lái)源，系統(tǒng)誤差的來(lái)源主要有以下四個(gè)方面：測(cè)量?jī)x器引起的系統(tǒng)誤差；環(huán)境條件引起的系統(tǒng)誤差；測(cè)量人員引起的系統(tǒng)誤差；測(cè)量方法引起的系統(tǒng)誤差。

對(duì)于測(cè)量者來(lái)說，應(yīng)盡可能地設(shè)法預(yù)見各種系統(tǒng)誤差的具體來(lái)源，并極力設(shè)法消除它的影響，其次是設(shè)法確定或估計(jì)出能消除的系統(tǒng)誤差之值。

最終要掌握系統(tǒng)誤差的減小和修正方法。主要方法有：從測(cè)量?jī)x器的設(shè)計(jì)上減小系統(tǒng)誤差的影響；從測(cè)量?jī)x器的工藝上減小系統(tǒng)誤差的影響；從測(cè)量?jī)x器的使用上減小系統(tǒng)誤差的影響；從測(cè)量方法的選擇上減小系統(tǒng)誤差的影響。在實(shí)際測(cè)量中，可以通過選擇正確的測(cè)量方法來(lái)減小系統(tǒng)誤差的影響。常用的減小系統(tǒng)誤差的方法有代替法、異號(hào)法、抵消法、交換法等。

修正值等于負(fù)的系統(tǒng)誤差。因此，當(dāng)測(cè)得量值與相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)量值比較時(shí)，測(cè)得量值與標(biāo)準(zhǔn)量值的差值為測(cè)得量值系統(tǒng)誤差的估計(jì)值。

因?yàn)樾拚档谋旧硪泊嬖谝欢ㄕ`差，因此用修正值消除系統(tǒng)誤差的方法，不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉。

五、測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理

測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理是指獲得測(cè)得量值后對(duì)數(shù)據(jù)的處理方式，即如何用算術(shù)平均值作為被測(cè)量的最佳估計(jì)值，如何用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征測(cè)量結(jié)果的分散性，如何剔出異常值，如何處理有效數(shù)字和進(jìn)行數(shù)字修約等。

測(cè)量結(jié)果中的異常值是由測(cè)量過程中的粗大誤差所引起的，其數(shù)值比較大，所產(chǎn)生的原因往往是由于測(cè)量者的粗心大意，或測(cè)量過程中不可重復(fù)的突發(fā)事件造成的，其對(duì)測(cè)量結(jié)果有明顯的歪曲，應(yīng)予及時(shí)發(fā)現(xiàn)將其剔除。

一般地說，隨機(jī)誤差按照正態(tài)分布的規(guī)律出現(xiàn)，在分布中心附近出現(xiàn)的機(jī)會(huì)最多，在遠(yuǎn)離分布中心處出現(xiàn)的機(jī)會(huì)最少。根據(jù)這種情況，如果在實(shí)際測(cè)量中有一個(gè)遠(yuǎn)離分布中心的數(shù)值，即可判斷此數(shù)值是屬于異常值應(yīng)予剔除，異常值的判斷準(zhǔn)則就是跟據(jù)這個(gè)總的原則確定的。異常值的判斷準(zhǔn)則有：萊以特準(zhǔn)則、肖維勒準(zhǔn)則和格拉布斯準(zhǔn)則。

測(cè)量結(jié)果數(shù)字位數(shù)的確定，稱為測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字處理。所謂有效數(shù)字是指在一個(gè)數(shù)中，從左邊第一個(gè)非零數(shù)字開始直到最右邊的正確數(shù)字，都叫這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。對(duì)某一數(shù)字，根據(jù)保留位數(shù)的要求，將多余位數(shù)的數(shù)字按照一定規(guī)則進(jìn)行取舍，這一過程稱為數(shù)字修約。

一般為了保持測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，根據(jù)測(cè)量結(jié)果的不確定度，當(dāng)有效數(shù)字的位數(shù)確定后，其后的數(shù)字應(yīng)一律舍去，最后一位有效數(shù)字，則按通用數(shù)字修約規(guī)則進(jìn)行修約。

通用數(shù)字修約規(guī)則為：以保留數(shù)字的末位為單位，末位后的數(shù)字大于0.5者末位進(jìn)一；末位后的數(shù)字小于0.5者末位不變；末位后的數(shù)字恰為0.5者，使末位成為偶數(shù)，即當(dāng)末位為偶數(shù)時(shí)則末位不變；當(dāng)末位為奇數(shù)時(shí)則末位進(jìn)一。

所謂等精度測(cè)量是指對(duì)某一量的測(cè)量，是在恒定的測(cè)量條件下進(jìn)行的。即在整個(gè)測(cè)量過程中，所使用的測(cè)量?jī)x器、環(huán)境條件，以及測(cè)量者都沒有變化。

所謂不等精度測(cè)量是指對(duì)某一量的測(cè)量，在不同的條件下，不同的測(cè)量方法，不同的測(cè)量?jī)x器，不同的測(cè)量次數(shù)，以及不同的測(cè)量人員進(jìn)行的，其目的是為了得到較高準(zhǔn)確度的測(cè)量結(jié)果。在不等精度測(cè)量結(jié)果的處理時(shí)，就不能把各種條件下所得到的結(jié)果以算術(shù)平均值作為它的可靠值，因?yàn)榇藭r(shí)它們不僅是在各種不同條件下得到的各組不同值，而且它們的準(zhǔn)確度各不相同。

在被測(cè)量的數(shù)目較多情況下，為了以較少的測(cè)量次數(shù)達(dá)到較高的測(cè)量準(zhǔn)確度，常常采用組合測(cè)量的方法。組合測(cè)量可以這樣理解，若同時(shí)有若干個(gè)同名的被測(cè)量，但不是直接測(cè)量它們而是直接測(cè)量由其組成的不同方程組成的某一些量，然后解此方程組以求得各被測(cè)量，這樣組合的過程稱為組合測(cè)量。

最小二乘法原理說：在等精度測(cè)量中，從一組測(cè)得值所確定代替真值的最佳估計(jì)值，是能使各測(cè)得值與它偏差值的平方和為最小的那個(gè)值。

因而可得：在等精度測(cè)量條件下，測(cè)得值的算術(shù)平均值是符合最小二乘法原理的最佳值，而它殘差的平方和也必然為最小。如果反過來(lái)說，如果它的殘差平方和為最小，那么在該條件下所得的值也是最佳估計(jì)值。

六、測(cè)量不確定度的概念及術(shù)語(yǔ)

根據(jù)所用到的信息，表征賦予被測(cè)量量值分散性的非負(fù)參數(shù)稱為測(cè)量不確定度。測(cè)量不確定度可理解為，是用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差、或?qū)嶒?yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)、或說明了包含概率的區(qū)間半寬度，來(lái)表征被測(cè)量量值的分散程度。

不確定度的定量評(píng)定只是一種估計(jì)，用來(lái)表征被測(cè)量值所處的范圍，是對(duì)測(cè)得量值可靠程度的一種評(píng)定：不確定度愈大，測(cè)得量值愈遠(yuǎn)離真值，表示測(cè)得量值不可靠；不確定度愈小，測(cè)得量值愈接近真值，表示測(cè)得量值可靠，其準(zhǔn)確度高。

測(cè)量不確定度的A類評(píng)定是指用統(tǒng)計(jì)分析的方法獲得的分量，并用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征；測(cè)量不確定度的B類評(píng)定是指用其他方法獲得的分量，也用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或其他信息的概率密度函數(shù)評(píng)定。

用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的測(cè)量不確定度稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。由測(cè)量模型中各輸入量有關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度獲得的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度稱為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度與一個(gè)大于1的數(shù)的因子的乘積稱為擴(kuò)展不確定度。

包含區(qū)間是說明了概率的一組被測(cè)量真值所包含的區(qū)間。包含概率是指在包含區(qū)間內(nèi)包含一組被測(cè)量真值的概率。包含因子是指對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度所乘的大于1的數(shù)。

由于被測(cè)量定義中細(xì)節(jié)的有限說明所產(chǎn)生的測(cè)量不確定度分量稱為定義的不確定度。根據(jù)測(cè)量結(jié)果的預(yù)期用途確定和規(guī)定的測(cè)量不確定度上限稱為目標(biāo)不確定度。由所用測(cè)量?jī)x器或測(cè)量系統(tǒng)引起的測(cè)量不確定度的分量稱為儀器的不確定度。

準(zhǔn)確度是定性說明測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的綜合，即測(cè)得量值即不偏離真值，測(cè)得量值之間又不分散的程度。正確度是定性說明測(cè)得量值中系統(tǒng)誤差大小的程度，即數(shù)學(xué)期望和參考量值之間的一致程度。精密度是定量表示測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度，反映了被測(cè)量的測(cè)得量值間的符合程度。

最大允許誤差是指由給定測(cè)量、測(cè)量?jī)x器或測(cè)量系統(tǒng)的規(guī)范或規(guī)程所允許的，相對(duì)于已知參考量值的測(cè)量誤差的極限值。最大允許誤差是針對(duì)某一個(gè)測(cè)量區(qū)間，儀器不確定度是針對(duì)某一個(gè)量值；最大允許誤差給出的是測(cè)量誤差的極限值，儀器不確定度給出的是量值分散性的實(shí)際值；最大允許誤差是人為事先在技術(shù)規(guī)范中的規(guī)定，儀器不確定度可以人為事先確定也可以通過事后對(duì)儀器校準(zhǔn)所獲得。

測(cè)量?jī)x器最大允許誤差與目標(biāo)不確定度都是事先規(guī)定的測(cè)量誤差的極限值或不確定度的上限值。可以從最大允許誤差或最大允許不確定度，以及誤差限或不確定度上限的角度來(lái)理解。如果目標(biāo)不確定度的目標(biāo)是針對(duì)測(cè)量?jī)x器，即對(duì)測(cè)量?jī)x器的不確定度規(guī)定了一個(gè)上限值或規(guī)定了若干個(gè)上限值，那么目標(biāo)不確定度和儀器不確定度就有相同的含義。

七、測(cè)量模型與測(cè)量函數(shù)

測(cè)量模型和測(cè)量函數(shù)是測(cè)量不確定度評(píng)定過程中的兩個(gè)重要數(shù)學(xué)概念。

測(cè)量模型是指測(cè)量所包含的全部已知量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，其通用形式是方程。測(cè)量模型是用于計(jì)算被測(cè)量估計(jì)值的數(shù)學(xué)公式。

測(cè)量函數(shù)是指：當(dāng)用測(cè)量模型中輸入量的已知量值計(jì)算的值是測(cè)量模型中輸出量的測(cè)得值時(shí)，各量的函數(shù)關(guān)系。測(cè)量函數(shù)是用于計(jì)算被測(cè)量估計(jì)值不確定度的數(shù)學(xué)公式。

在實(shí)際測(cè)量中，當(dāng)被測(cè)量確定后，就要根據(jù)被測(cè)量的定義，給出被測(cè)量的具體計(jì)算公式。被測(cè)量的計(jì)算公式明確給出了所有輸入量的估計(jì)值和被測(cè)量估計(jì)值之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，只要測(cè)量出各輸入量的量值后，代入到計(jì)算公式中即可計(jì)算出被測(cè)量的估計(jì)值。因此，當(dāng)被測(cè)量確定后，被測(cè)量的測(cè)量模型是指被測(cè)量的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即被測(cè)量估計(jì)值的計(jì)算公式。

當(dāng)被測(cè)量確定后，要根據(jù)被測(cè)量的計(jì)算公式和被測(cè)量估計(jì)值不確定度的測(cè)量函數(shù)，給出被測(cè)量估計(jì)值不確定度的計(jì)算公式，將各個(gè)其他輸入量估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的值和相應(yīng)的靈敏系數(shù)值代入公式便可計(jì)算出被測(cè)量估計(jì)值不確定度的值。

建立被測(cè)量的測(cè)量模型，首先要確定被測(cè)量，當(dāng)被測(cè)量確定后，就要根據(jù)被測(cè)量的定義，給出被測(cè)量的具體計(jì)算公式。因此，被測(cè)量的測(cè)量模型就是指被測(cè)量的計(jì)算公式。只要確定了被測(cè)量的計(jì)算公式，就可以很方便地建立被測(cè)量估計(jì)值不確定度的測(cè)量函數(shù)。因?yàn)楸粶y(cè)量估計(jì)值不確定度的測(cè)量函數(shù)，是建立在被測(cè)量估計(jì)值計(jì)算公式的基礎(chǔ)上。

在建立測(cè)量不確定度測(cè)量函數(shù)的過程中，如有數(shù)據(jù)表明，沒有將測(cè)量過程模型化至測(cè)量所要求的準(zhǔn)確度。即在測(cè)量中對(duì)各個(gè)其他輸入量的不確定度分量考慮的還不夠全面，遺漏了對(duì)測(cè)量結(jié)果不確定度有顯著影響的其他影響量。在這種情況下，則必須在測(cè)量函數(shù)中增加新的其他影響量，直至滿足測(cè)量結(jié)果不確定度的評(píng)定要求。

在測(cè)量不確定度的評(píng)定中，分析和確定不確定的來(lái)源十分重要。因?yàn)椴淮_定度來(lái)源不清楚，就無(wú)法評(píng)定測(cè)量不確定度。在分析測(cè)量不確定度來(lái)源時(shí)，原則上是可以說應(yīng)從設(shè)備、人員、環(huán)境、方法及被測(cè)對(duì)象幾個(gè)方面考慮，不可遺漏，也不可重復(fù)。但這不是一種簡(jiǎn)單實(shí)用的方法，因?yàn)槿狈刹僮餍浴?/span>

在測(cè)量函數(shù)中，有多少個(gè)輸入量就有多少個(gè)不確定度來(lái)源，也就有多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度。當(dāng)被測(cè)量確定后，被測(cè)量估計(jì)值不確定度的計(jì)算公式也就確定了，根據(jù)公式就可以得到不確定度來(lái)源的具體內(nèi)容，并依次將其列出。如果遺漏了對(duì)測(cè)量結(jié)果不確定度有顯著影響的其他影響量，可在測(cè)量函數(shù)中增加新的其他影響量，直至滿足測(cè)量結(jié)果不確定度的評(píng)定要求。

 八、測(cè)量不確定度的評(píng)定方法

在測(cè)量不確定度的評(píng)定時(shí)，首先要確定被測(cè)量的最佳估計(jì)值。被測(cè)量的最佳估計(jì)值確定后，就要評(píng)定各輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，其評(píng)定方法可采用A類評(píng)定和B類評(píng)定。再計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，評(píng)定擴(kuò)展不確定度，最后給出測(cè)量不確定度報(bào)告。

基本方法是指用貝塞爾公式計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。即以算術(shù)平均值作為測(cè)得量值的最佳估計(jì)值，以算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差作為測(cè)得量值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即A類評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

測(cè)量不確定度的B類評(píng)定，是指用不同于統(tǒng)計(jì)分析方法的其他方法評(píng)定的分量，并同樣用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)表征。

測(cè)量不確定度B類評(píng)定的基本方法是，根據(jù)對(duì)被測(cè)分量估計(jì)值所提供信息的分析，確定被測(cè)分量估計(jì)值之值分散區(qū)間的半寬及其包含因子，根據(jù)公式計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的估計(jì)值。

被測(cè)分量估計(jì)值之值分散區(qū)間的半寬，可以是擴(kuò)展不確定度、儀器不確定度、測(cè)量?jī)x器的最大允許誤差，或其他與被測(cè)分量有關(guān)的誤差極限值。被測(cè)分量的包含因子，可以根據(jù)被測(cè)分量的分布類型確定?？梢?，標(biāo)準(zhǔn)不確定度B類評(píng)定的關(guān)鍵，一是如何確定被測(cè)分量估計(jì)值分散區(qū)間的半寬；二是如何確定其包含因子。

在對(duì)被測(cè)分量的概率分布無(wú)法估計(jì)時(shí)，可以采用假設(shè)概率分布的方法。優(yōu)先假設(shè)為均勻分布，其次假設(shè)為正態(tài)分布。當(dāng)假設(shè)概率分布為正態(tài)分布時(shí)，其包含因子在2~3中選擇。一般情況下，假設(shè)概率分布法是測(cè)量不確定度B類評(píng)定中一個(gè)比較實(shí)用的方法。

在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度之前，應(yīng)確保所有不確定度分量均用標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示，如果存在用其他形式表示的不確定度分量，則應(yīng)將其變換為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)應(yīng)考慮各輸入量間的相關(guān)性。按被測(cè)量估計(jì)值測(cè)量不確定度的測(cè)量函數(shù)導(dǎo)出的計(jì)算公式進(jìn)行合成計(jì)算，必要時(shí)考慮協(xié)方差。

擴(kuò)展不確定度是指合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度與包含因子的乘積。擴(kuò)展不確定度是被測(cè)量的可能值包含區(qū)間的半寬度。擴(kuò)展不確定度分為和兩種。在給出測(cè)量結(jié)果時(shí)，一般情況下應(yīng)報(bào)告擴(kuò)展不確定度。

當(dāng)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的概率分布近似為正態(tài)分布，且其有效自由度比較大時(shí)，或合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效自由度無(wú)法得到時(shí)，或擴(kuò)展不確定度沒有包含概率要求時(shí)，k值一般取2~3，在大多數(shù)情況下取k=2，當(dāng)取其他值時(shí)，應(yīng)說明其來(lái)源。如有包含概率的要求則應(yīng)合理選擇包含因子。

完整的測(cè)量結(jié)果含有兩個(gè)基本量，一是被測(cè)量的估計(jì)值；二是被測(cè)量估計(jì)值的測(cè)量不確定度。

擴(kuò)展不確定度的通用報(bào)告形式：依次給出被測(cè)量的符號(hào)及測(cè)得量值，擴(kuò)展不確定度的符號(hào)及量值，包含因子的符號(hào)及量值。           

九、產(chǎn)品檢驗(yàn)測(cè)量不確定度與合格評(píng)定

涉及產(chǎn)品檢驗(yàn)測(cè)量不確定度評(píng)定方法，以及考慮測(cè)量不確定度因素的合格評(píng)定方法。

測(cè)量不確定度適用于各種測(cè)量領(lǐng)域，是用于表征被測(cè)量值分散性的參數(shù)。因此，所有參數(shù)測(cè)量結(jié)果都應(yīng)給出被測(cè)量的量值和測(cè)量不確定度，可用GUM進(jìn)行評(píng)定。

檢定、校準(zhǔn)和檢測(cè)的共同點(diǎn)是參數(shù)測(cè)量，其核心是通過參數(shù)測(cè)量實(shí)現(xiàn)預(yù)期目的?？梢哉f參數(shù)測(cè)量是所有檢定、校準(zhǔn)、測(cè)試、檢驗(yàn)、檢測(cè)、檢疫的基本要素和通用技術(shù)手段，檢定、校準(zhǔn)、測(cè)試、檢驗(yàn)、檢測(cè)、檢疫等都是測(cè)量的一種特定形式，其相應(yīng)的測(cè)量能力都用測(cè)量不確定度表述。

在產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)中，一是規(guī)定產(chǎn)品的技術(shù)要求；二是規(guī)定產(chǎn)品的試驗(yàn)方法。規(guī)定的技術(shù)要求主要包括定量要求和定性要求：定量要求是指通過可測(cè)量的數(shù)值來(lái)表示的要求；定性要求是指其他要求，如產(chǎn)品的外觀、結(jié)構(gòu)、號(hào)型、功能、標(biāo)志、標(biāo)識(shí)、包裝、運(yùn)輸?shù)纫?。因此，產(chǎn)品檢驗(yàn)結(jié)果的不確定度評(píng)定只針對(duì)有定量要求的產(chǎn)品特性參數(shù)。在對(duì)給定產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定技術(shù)要求，對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量影響較大而又需要測(cè)量的特性參數(shù)評(píng)定測(cè)量不確定度。

產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)結(jié)果的不確定度評(píng)定，并不是對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量最終檢驗(yàn)結(jié)果的評(píng)定，而是對(duì)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的一組參數(shù)測(cè)量結(jié)果不確定度的評(píng)定。即產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)是一組參數(shù)測(cè)量的過程，每一個(gè)參數(shù)測(cè)量都應(yīng)給出測(cè)得值和相應(yīng)的測(cè)量不確定度。產(chǎn)品質(zhì)量的參數(shù)是由物理量、化學(xué)量以及其他可測(cè)量組成。

在合格評(píng)定中應(yīng)考慮測(cè)量不確定度的影響。如應(yīng)根據(jù)被測(cè)量的量值及其測(cè)量不確定度來(lái)判定產(chǎn)品是否合格。產(chǎn)品合格的判定依據(jù)是產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)中一般給出由下限值和上限值組成的允許區(qū)間，或只給出下限值，或只給出上限值。

當(dāng)測(cè)量結(jié)果位于被測(cè)量的允許區(qū)間內(nèi)，或小于等于上限值，或大于等于下限值時(shí)，則判定檢驗(yàn)合格。

當(dāng)測(cè)量結(jié)果位于被測(cè)量的允許區(qū)間之外，或大于上限，或小于下限時(shí)，則判定檢驗(yàn)不合格。

十、測(cè)量不定度的應(yīng)用

將可以忽略的誤差和不確定度分量稱為微小誤差和微小不確定度。

微小誤差含微小確定性系統(tǒng)誤差和微小不確定度，其中微小確定性系統(tǒng)誤差的準(zhǔn)則為“十分之一”準(zhǔn)則；微小不確定準(zhǔn)則為“三分之一”準(zhǔn)則。

在實(shí)際測(cè)量工作中，經(jīng)常會(huì)根據(jù)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度來(lái)確定各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，這類問題就稱為測(cè)量不確定度分配。例如在制定測(cè)量方案時(shí)，在已明確測(cè)量結(jié)果的目標(biāo)不確定度，即已給出測(cè)量結(jié)果不確定度的上限，如何確定來(lái)源于各個(gè)方面的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的允許上限。又如在設(shè)計(jì)和制造測(cè)量?jī)x器時(shí)，為保證測(cè)量?jī)x器的最大允許誤差或目標(biāo)不確定度在允許范圍內(nèi)，對(duì)測(cè)量?jī)x器各組成部分應(yīng)提出怎樣的要求。諸如此類的問題都屬于不確定度分配問題。

根據(jù)被測(cè)量允許誤差來(lái)選擇測(cè)量?jī)x器是一種最常用的通用方法。該方法是指，測(cè)量時(shí)要使被測(cè)量的允許誤差等于3～10倍的測(cè)量?jī)x器的最大允許誤差或儀器不確定度。

在實(shí)際測(cè)量過程中，如何合理選擇測(cè)量次數(shù)十分重要，可以從單次測(cè)量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差與測(cè)量列算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系上來(lái)選擇測(cè)量次數(shù)。

在實(shí)際測(cè)量過程中，間接測(cè)量必不可少。間接測(cè)量的值是各獨(dú)立直接測(cè)量值的函數(shù)，因此在數(shù)據(jù)處理時(shí)要根據(jù)函數(shù)誤差計(jì)算原則進(jìn)行。而間接測(cè)量必然涉及到函數(shù)計(jì)算公式，有時(shí)會(huì)有不同的計(jì)算公式可選擇?？梢酝ㄟ^不同計(jì)算公式得到的合成標(biāo)不確定度的結(jié)果，選擇最佳計(jì)算公式。

詳細(xì)內(nèi)容可參考由中國(guó)質(zhì)檢出版社和中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社聯(lián)合出版的（測(cè)量誤差與不確定度評(píng)定），耿維明編著。