計量培訓：測量不確定度表述講座
國家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局　李慎安

　　3.1  實驗方差s²(q_k)是方差σ²的無偏估計的含義為何？標準偏差s是否也是總體標準差σ的無偏估計？
　　在用貝塞爾公式
　　計算任一次測量結(jié)果q_k的實驗標準偏差s(q_k)時，未開方前以及用本講座2.12問題中給出的式子計算時，未開方前，均稱為實驗方差s²(q_k)。σ稱為總體標準偏差，σ²則稱為總體方差或簡稱方差，在計量學中，特別是測量不確定度評定中，總體是指被測量Y在重復性條件下或復現(xiàn)性條件下無限多次的測量結(jié)果。根據(jù)這無限多次測量結(jié)果計算出的標準偏差就是σ。由于實驗中，重復的次數(shù)n總是有限的，計算出的實驗方差s²只是σ²的一個估計值。n越大，這個估計值越可靠。所謂無偏估計，可以簡單地理解為:s²比σ²大的概率與s²比σ²小的概率相等，即均為50%。而且當次數(shù)n越大時，差值(s²-σ²)的總和越趨近為零，當n為無窮大時，s²-σ²就等于零。當s²是σ²的無偏估計時，s就不是σ的無偏估計而是有偏的了，s是σ的偏小估計，即s-σ是負值的概率大于s-σ是正值的概率。在測量不確定度評定中，可以不去考慮這種偏小，因為隨n的增大它們會趨于相等。

　　3.2  為什么在按貝塞爾公式計算的實驗標準偏差時，次數(shù)n應充分大(開方后為什么只取正值)復現(xiàn)性條件下的重復測量結(jié)果可否采用貝塞爾公式計算一次測量結(jié)果的實驗標準偏差？
　　次數(shù)n越大，計算出來的實驗標準偏差s(q_k)越可靠。一般文獻均提出應充分大，當然是越大越好，盡可能多地重復測量。不過一般來說，次數(shù)n≥30就認為充分了。因為n等于40或50雖比n=30好一點，但好不了多少。當我們研究測量儀器的特性，特別是其示值分布的情況時，則是另一種目的，次數(shù)n往往要超過100甚至200。
　　數(shù)字中的平方根，總是帶有正負號的，例如=±10。但是，在標準差的計算中，開方后的值只取正值，原因在于標準差表示的是分散性，而分散性所給出的是一個區(qū)間或理解為一個范圍。作為物理量的區(qū)間的大小，用負值是沒有意義的。這也就是測量不確定度只有正值而不存在負值的原因。
　　復現(xiàn)性條件下的重復測量結(jié)果之間，也存在分散性，這種條件下的任一次測量結(jié)果的實驗標準偏差，也無例外地可以用3.1或2.12中給出的式子進行計算。復現(xiàn)性條件似乎不是等精度測量所要求的條件，但是，所謂等精度是個定性的概念，重復性條件下的測量結(jié)果有大有小，它們的測量誤差也各不相同，但應該說是有限程度的等精度。復現(xiàn)性條件下出現(xiàn)了某些條件的變化，導致測量結(jié)果分散性某種程度的擴大，但仍可以用實驗標準偏差來定量表述，也可稱之為等精度測量。參閱2.9。

　　3.3  測量不確定度的定義如何理解？
　　測量不確定度定義的英文為:Parameter,associated with the result of a measurement,that characterizes the dispersion of the values that could reasonably be attributed to the measurand。一般譯為:與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)，用來表征合理地賦予被測量之值的分散性。上述譯文把“associated with”譯為“相聯(lián)系”不太貼切，英文的含義是“與…一起”，而“相聯(lián)系”一詞在漢語中，特別是在科技文獻中，往往令人要問，如何聯(lián)系，函數(shù)形式如何？其實，在這里測量不確定度與測量結(jié)果之間的“聯(lián)系”，只不過是“在一起”，除此以外無其他含義。

　　當我們在重復性條件下，對一穩(wěn)定的被測量X獨立進行了n次重復測量，在這一測量列中，通過n個結(jié)果按貝塞爾公式計算出的，第i次結(jié)果x_i的實驗標準差s(x_i)，與x_i之間有怎樣的聯(lián)系？這里的x_i雖指第i次測量結(jié)果，而其實際含義則為:任一次的測量結(jié)果。因此，s(x_i)=u(x_i)表明這個不確定度(分散性)是這個測量列中任意一次的結(jié)果的不確定度。當然，如果在相同的重復性條件下再測一次，得到的結(jié)果x_i的標準不確定度同樣也是s(x_i)。我們能看出這里的一次測量結(jié)果的標準不確定度u(x_i)與x_i之間有怎樣的聯(lián)系呢？沒有。

　　怎么叫合理？怎么是非合理？在《導則》中未予交代。有人說，這里“合理”一詞妙極，合理就是合理。沒有，也不必要有任何解釋。只要賦予被測量之值的分散性不能用不確定度來表征，則賦予被測量之值就不合理。如果是這樣，我們?nèi)绾卫斫獠淮_定度的概念呢？
    定義中所謂的合理，是指處于統(tǒng)計控制狀態(tài)下的測量。當測量是處于統(tǒng)計控制狀態(tài)下時，其結(jié)果的分散性才能用不確定度這一參數(shù)表征，否則不行。
　　國際上對實驗標準差的定義是表征結(jié)果分散性的，還有，1994年12月公布的國際標準ISO 5725—《測量方法與測量結(jié)果的準確度》其中對重復性標準差以及復現(xiàn)性標準差(s_r與s_R)，都是明確規(guī)定重復性條件下和復現(xiàn)性條件下，對同一被測量獨立測量若干次的測量列，按貝塞爾公式所得到的分散性用標準差定量地給出的值，ISO分別用了標準化的符號s_r與s_R以示區(qū)別。
　　所謂統(tǒng)計控制狀態(tài)的含義，在統(tǒng)計學中就是指隨機控制過程狀態(tài)。在計量學中，一般來說，可以具體化為:重復性條件和復現(xiàn)性條件可以保證下的狀態(tài)。
　　當我們把測量過程中所用的標準測量儀器，按證書所給的修正量或修正曲線，對其示值(某些情況下就是測量結(jié)果)進行修正后，由于修正值的不確定度導致的誤差，其期望是可以，而且往往只能，作為零來估計的，這就是一種統(tǒng)計控制狀態(tài)，因它處于隨機過程之中。

　　不確定度是否就是測量結(jié)果的可能誤差？答復是肯定的。不確定度的含義雖為賦予被測量之值的分散性，但是，分散性的形成:一是隨機效應；二是系統(tǒng)效應。系統(tǒng)效應導致的誤差分量其期望(指對那些已知系統(tǒng)誤差進行過修正后的)與隨機效應導致的誤差分量一樣，都是為零。因此，只要沒有遺漏重大的不確定度分量，最后給出的擴展不確定度，無論是U還是U_p，都是一種可能誤差(possible error)的量度。事實上，在計量學中，過去給測量不確定度曾經(jīng)有過一個定義:由測量結(jié)果所給出的被測量估計值中，可能誤差的量度。這個定義雖已為1995年的《導則》放棄，但是，其概念與當前所采用的定義并不矛盾，可能誤差在大多數(shù)情況下，表達為一種誤差限，或最大允許誤差等。因此，我們在按檢定證書或某些儀器的技術(shù)規(guī)范中的這一指標，來估算其所導致的不確定度分量時，就有理由把它們作為U或U_p來對待。例如:證書上給出了最大允許誤差不超出±18μA，就可認為U₉₉=18μA。而其標準不確定度在正態(tài)分布的前提下可估算為U₉₉/3=18μA/3=6μA。
　　測量不確定度是否仍可理解為被測量真值所處范圍的量度？答案也是肯定的，JJF1001-1991中，曾對測量不確定度按當時國際上的意見定義為:表征被測量的真值所處量值范圍的評定。這一定義也為國際計量學界所放棄，原因是這兩個定義中均涉及到“真值”、“誤差”這樣的理論上的概念而不具有“可操作性”。雖然如此，其所表達的概念并未被國際計量學界所否定。德國于1996年3月所公布的標準DIN1319—3《單一被測量測量結(jié)果不確定度的估算》中，對測量不確定度的定義卻是采用了:和測量結(jié)果一起，用于說明被測量真值所處范圍的一個參數(shù)。

　　不確定度與測量結(jié)果有多大的聯(lián)系？
　　例如:1個三等砝碼，交給某個實驗室，按檢定規(guī)程的要求進行了測量，得到其質(zhì)量為m₁。然后，把這個砝碼交給另一個實驗室，同樣按檢定規(guī)程進行測量，得到其質(zhì)量為m₂，這兩個實驗室各自使用自己的二等標準砝碼與天平，m₁≠m₂是常見的。但是，這兩個測量結(jié)果的不確定度是十分接近的，都不超過檢定規(guī)程的三等砝碼的要求。因此，只要測量程序、條件相同，不同的測量結(jié)果可以有相同的不確定度。反之，如果測量程序、條件并不相同，雖然測量結(jié)果相同，也未必有相同的不確定度。從這個意義上來看，測量不確定度獨立于測量結(jié)果。
　　應該認為:測量不確定度主要決定于測量程序與條件，而測量結(jié)果應是這一測量程序與條件下的測量結(jié)果而非其他。其聯(lián)系僅此而已。
　　不確定度指測量結(jié)果的可疑程度，即對測量結(jié)果正確性的可疑程度。其值大則表示不可靠，其值較小，則表示較為可靠，其準確度較高。
　　測量不確定度無例外地只用正值表述。例如:擴展不確定度U₉₅=0.45 mA。如與測量結(jié)果用數(shù)學符號聯(lián)系起來，則另加正負號(±)。例如:電流I=(70.000±0.054)A。

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　　3.4  不確定度分為哪些類？
　　不確定度的定義與概念已如3.3所述，當不確定度除以真值(或測量結(jié)果)時，稱之為相對不確定度。這是個無量綱量，通常用百分數(shù)或10的負數(shù)冪表示(例如10^-6，10^-9)等，而其符號則加下標rel，例如:U_95rel。
　　不帶形容詞的不確定度指一般概念，當需要明確某一測量結(jié)果的某種不確定度時，要適當采用一個形容詞，常用的形容詞有:標準、擴展(展伸或范圍)。在這兩個形容詞前，還可再加“相對”。例如:相對擴展不確定度U_rel。
　　當不確定度是用標準偏差表述時，稱為標準不確定度。
　　當不確定度是采用統(tǒng)計方法(例如用2.12或3.1給出的計算式)得到時，稱A類評定，而得出的不確定度稱為A類標準不確定度。當用不同于統(tǒng)計方法的其他方法得到時，稱為B類評定，所得出的不確定度稱為B類標準不確定度。由各個不確定度的方差和協(xié)方差之和算出的標準不確定度，稱為合成標準不確定度，它是測量結(jié)果標準偏差的估計。

　　擴展不確定度則是合成標準不確定度乘一個包含因子(見3.5)之后擴大了兩倍或兩倍以上的不確定度，它給出的區(qū)間能包含被測量可能值的大部分(例如:95%，99%等)。但也可以不必給出其百分數(shù)。
　　不確定度的分類可用下圖表明:
    

　　上圖中所給出的各類不確定度均可對應地給出它們的相對不確定度，即再除以測量結(jié)果。
　　決不可以用隨機不確定度和系統(tǒng)不確定度這樣的概念和術(shù)語。因不確定度只是一個分散性區(qū)間，這個區(qū)間沒有什么隨機與系統(tǒng)性的問題，更不存在系統(tǒng)的分散性或系統(tǒng)的分散區(qū)間。如需要表明某不確定度是怎樣的原因所導致的，可以用隨機效應導致的不確定度或系統(tǒng)效應導致的不確定度，以避免概念上的混淆。必須注意，隨機效應導致的不確定度既可以是A類，也可以是B類，而系統(tǒng)效應導致的不確定度也不一定都是B類。

　　3.5  包含因子k的概念如何？用在不確定度評定中的什么場合？
　　包含因子又稱覆蓋因子，它等于擴展不確定度與合成標準不確定度u_c之比。由于擴展不確定度有U與U_p兩類(下標p為置信概率，U_p給出置信概率為p的置信區(qū)間半寬)。包含因子亦有k與k_p兩類，k與k_p在名稱上沒有區(qū)別，使用時，如需區(qū)別，必須給出符號。k一般為2，有時為3。而k_p則是在給定概率p時所要求的因子，對于被測量Y之估計值接近正態(tài)分布的情況下，k_p就是t分布給出的t值。在擴展不確定度U_p的計算中，有了p與自由度ν即可查表得到k_p，從而得到U_p。如只要求給出擴展不確定度U，則無需k_p而只用k即可。

　　3.6  自由度的含義如何？不確定度評定中起何作用？什么情況下可以不必進行自由度的估算？
　　自由度一詞在不同學科有不同定義，例如在運動學中，指物體活動空間是幾維。質(zhì)點只能沿固定軌道進退為1維，在一個面上自由運動則是2維，在空間自由運動則是3維，分別稱為自由度等于1，2，3。剛體加上旋轉(zhuǎn)的自由，最大等于6。自由度從字面上看是指松動程度。計量學中，如一個被測量只測了一次，有一個結(jié)果，不存在選擇余地，自由度為零，但有了兩個測量結(jié)果，就多了一個選擇。不確定度的評定中，自由度用于表明所得到的標準偏差的可靠程度，它被定義為方差計算中和的項數(shù)減對和的限制數(shù)。按貝塞爾公式(見3.1)計算方差s²(q_i)時，∑符號后的項數(shù)等于n，因為重復了n次，被測量Q有n個結(jié)果，與其平均值之差就有n個，成為n項之和。但有一個限制，就是由于這n個殘差之和必為零，即∑(q_i-)=0，這算一個限制條件。自由度ν=n-1。
　　一般，我們可以認為自由度等于測量次數(shù)n減被測量的個數(shù)m，即ν=n-m。
　　自由度越大，這個標準差越可靠，自由度ν與這個標準差s的相對不確定度的平方成反比。
　　自由度只用于包含因子k_p的獲得，如果在擴展不確定度的評定中只要求U而不是U_p，則不必進行自由度的評定及有效自由度的計算。合成標準不確定度的自由度稱為有效自由度ν_eff。

　　3.7  置信概率的含義如何？與置信區(qū)間有何關(guān)系？
　　按測量不確定度的定義，合理賦予被測量之值的分散區(qū)間是包括全部被測量的測量結(jié)果的，即測量結(jié)果100%存在于這一區(qū)間。這一分散區(qū)間的半寬一般用a表示。但是如只要求某個區(qū)間只包含其95%的賦予被測量之值，這個區(qū)間就稱為概率p=95%的置信區(qū)間，其半寬就是擴展不確定度U₉₅，如要求99%的概率，則為U₉₉。相應的概率稱為置信概率，有:
　　U₉₅<U₉₉<a
　　至于大多少，與賦予被測量之值的分布情況有關(guān)。

　　3.8  測量誤差的定義、分類以及使用時應注意哪些問題？
　　測量誤差(簡稱誤差)的定義從20世紀70年代以來沒有改變，定義為:測量結(jié)果減被測量的真值。但是，長期以來，國內(nèi)外計量學界常錯誤地使用誤差一詞。從定義看，誤差與測量結(jié)果有關(guān)而與測量方法無關(guān)。不同的測量結(jié)果有不同誤差，相同測量結(jié)果有相同誤差，而不論測量結(jié)果是來自何種測量方法。合理賦予被測量之值，各有其誤差而并不存在一個共同的誤差。一個測量結(jié)果的誤差，如不是正值就是負值，取決于這個結(jié)果是大于還是小于真值。因此，誤差決不會帶有正負號(±)。
　　測量結(jié)果的誤差往往由若干分量組成，這些分量按其特性分成隨機誤差與系統(tǒng)誤差兩大類，而測量結(jié)果的誤差無例外地是全部分量的代數(shù)和。即，對誤差的合成只有代數(shù)和這一種方式。
　　隨機誤差的定義在1993年以來作了原則性的改變，它被定義為:測量結(jié)果減重復性條件對同一量進行無限多次測量結(jié)果的平均值。測量結(jié)果是真值、系統(tǒng)誤差與隨機誤差這三者的代數(shù)和，而無限多次結(jié)果的平均值則只是真值與系統(tǒng)誤差的代數(shù)和。它們的差則是這一測量結(jié)果的隨機誤差分量。
　　注意:不再有偶然誤差這一術(shù)語，也不再有另外的定義。

　　系統(tǒng)誤差也有了原則性的改變，它被定義為:重復性條件下對被測量的無限多次測量結(jié)果的算術(shù)平均值減被測量的真值。由于只能有限次數(shù)的重復，而真值只能用給定真值代替，因此，所得到的系統(tǒng)誤差只是個估計值，并具有一定的不確定度。這個不確定度也就是修正值的不確定度，與其他來源的不確定度分量一樣進入合成標準不確定度，僅此而已。而不是把系統(tǒng)誤差分成為已知系統(tǒng)誤差和未知系統(tǒng)誤差，也不能說未知系統(tǒng)誤差按隨機誤差處理。因為這里所謂的未知系統(tǒng)誤差并非誤差分量而是不確定度，而且，所謂按隨機誤差處理，概念是不清的。
　　至于誤差限、最大允許誤差、可能誤差、引用誤差等術(shù)語，它們前面帶有正負號(±)，是一種可能誤差的分散區(qū)間，而并非一個測量結(jié)果的誤差。
　　過去所謂的誤差傳播定律，所傳播者并非誤差而是不確定度?，F(xiàn)在已改稱為不確定度傳播定律。
　　應該注意，誤差一詞只能按其定義使用。今后不應用它來定量表明測量結(jié)果的可靠程度。

　　3.9  測量誤差與測量不確定度之間存在哪些主要不同之處？
　　下表給出它們之間的主要不同之處:

　　3.10  什么叫變量之間的相關(guān)？如何定量表達？不確定度評定中如何給出其估計值，什么情況下發(fā)生相關(guān)？有沒有B類估算？
　　一切被測量的估計值，由于諸多不穩(wěn)定因素的影響，它們不是固定的，因而稱之為變量。也就是說量的測量結(jié)果都是變量。
　　當某些被測量的估計值有相同的不確定度來源，特別是受相同的系統(tǒng)效應的影響，例如用了同一個標準器，則這樣的變量間存在相關(guān)。均可能偏大或均可能偏小，稱為正相關(guān)；一個偏大而另一個偏小，稱為負相關(guān)。這種相關(guān)性導致的方差稱為協(xié)方差，進入合成方差的計算，從而擴大了所得的合成方差(合成方差是合成標準差的二次方)。
　　協(xié)方差的評定既有A類評定也有B類評定。往往也可通過測量的操作程序來避免相關(guān)的產(chǎn)生，即使其協(xié)方差小到可忽略不計，例如通過改變所用的標準器等。