計(jì)量培訓(xùn)：測(cè)量不確定度表述講座
湖北財(cái)經(jīng)學(xué)院　李興仁

　　4.1  什么叫統(tǒng)計(jì)方法？
　　測(cè)量不確定度的A類評(píng)定方法定義為統(tǒng)計(jì)方法。所謂統(tǒng)計(jì)，一般來說，是指根據(jù)從總體中隨機(jī)取出的樣本中所獲得的信息來推斷關(guān)于總體性質(zhì)的方法。
　　一個(gè)被測(cè)量的某種條件(重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性條件)下的任一個(gè)測(cè)量結(jié)果，可視為無限多次測(cè)量結(jié)果(總體)的一個(gè)樣本。通過有限次數(shù)的測(cè)量結(jié)果(有限的隨機(jī)樣本)所獲得的信息(例如:平均值大小、實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(y))，來推斷總體的平均值(稱之為總體均值μ或稱為該分布的期望值)以及總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，就是一種統(tǒng)計(jì)方法。

　　4.2  什么是期望、期望值與最佳估計(jì)？
　　在不確定度評(píng)定中，無限多次的重復(fù)性條件下或復(fù)現(xiàn)性條件下的測(cè)量結(jié)果的平均值以及非等精度條件下的加權(quán)平均值，均為期望值或簡(jiǎn)稱期望。它也是總體的均值μ，只是理論上存在。
　　有限次數(shù)的測(cè)量結(jié)果都只是被測(cè)量的一個(gè)估計(jì)。當(dāng)重復(fù)了若干次測(cè)量，得到若干個(gè)測(cè)量結(jié)果時(shí)，只有它們的平均值才是最佳估計(jì)，如果存在修正值，則只能是修正后的結(jié)果才是最佳估計(jì)。
　　任何一個(gè)估計(jì)及最佳估計(jì)值均具有不為零的不確定度，而期望值的不確定度恒等于零。

　　4.3  什么是概率？概率分布與主觀概率、先驗(yàn)概率？
　　某種事件A出現(xiàn)的可能性大小的定量描述。例如，一個(gè)被測(cè)量Y在一個(gè)重復(fù)性條件下的測(cè)量結(jié)果y₁中，所包含的隨機(jī)誤差分量是正值還是負(fù)值，其可能性一樣大，我們說，正與負(fù)的概率各為50%。如果兩次測(cè)量結(jié)果y₁與y₂中所出現(xiàn)的隨機(jī)誤差分量的符號(hào)相同(均為正值或均為負(fù)值)，與符號(hào)不相同(一正一負(fù))的概率也各為50%。三個(gè)重復(fù)測(cè)量結(jié)果y₁、y₂與y₃中隨機(jī)誤差分量的符號(hào)相同，其概率就只有25%。
　　大大小小地合理賦予被測(cè)量Y之值y_i，在其分散區(qū)間內(nèi)等間隔地分成若干(例如15個(gè))小的區(qū)間，則y_i分別落在這些小區(qū)間中的數(shù)目多少，表明了落在這個(gè)區(qū)間的概率大小，這樣，如以縱坐標(biāo)表示概率，則形成了一個(gè)概率分布曲線。下圖就是一個(gè)近似正態(tài)的分布曲線，Δδ_i為每個(gè)小間隔。
    

　　曲線表明了被測(cè)量可能值在多大時(shí)出現(xiàn)的概率有多大，同時(shí)，也可通過曲線估計(jì)出95%或99%的概率出現(xiàn)在哪個(gè)區(qū)間，即所謂置信區(qū)間(參閱3.7)。如要確定概率分布曲線，往往需要有100～200次的重復(fù)測(cè)量結(jié)果。所謂先驗(yàn)概率又稱主觀概率，則是根據(jù)觀測(cè)者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對(duì)某種事件出現(xiàn)的概率所作出的估計(jì)。
　　常見的用于不確定度評(píng)定的、較為規(guī)律的概率分布曲線有:矩形分布(又稱均勻分布)、三角分布、梯形分布、兩點(diǎn)分布等。其中以正態(tài)分布最為常見。例如:三個(gè)以上觀測(cè)值的平均值作為被測(cè)量的結(jié)果時(shí)，這種測(cè)量結(jié)果的分布即為正態(tài)分布。

　　4.4  異常值指什么？
　　由于測(cè)量條件或測(cè)量設(shè)備的某種偶然性變化，導(dǎo)致測(cè)量已不處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)；或者由于觀測(cè)、計(jì)算、記錄中的失誤，導(dǎo)致某測(cè)量結(jié)果明顯偏離其所屬樣本的其余觀測(cè)值，這樣的值稱為異常值，過去，我們說結(jié)果中含有粗大誤差。在不確定度評(píng)定中，這樣的值是不應(yīng)進(jìn)入計(jì)算而應(yīng)剔除的。但必須持慎重態(tài)度，必須按有關(guān)規(guī)則進(jìn)行。特別是當(dāng)觀測(cè)結(jié)果較少(例如4次)的情況下，憑4個(gè)觀測(cè)值來判定其中某一次是異常值往往會(huì)作出錯(cuò)誤結(jié)論。一般應(yīng)再多重復(fù)若干次，有了例如7～8次以上的值后，再判斷哪一次的結(jié)果是否為異常值。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB4883—1985《正態(tài)樣本異常值的判斷和處理》可作為依據(jù)。

　　4.5  什么叫數(shù)學(xué)模型？
　　用數(shù)學(xué)語言給出的物理量之間或數(shù)值之間的關(guān)系式。測(cè)量的數(shù)學(xué)模型指得到被測(cè)量Y的數(shù)學(xué)計(jì)算式。因此，同一個(gè)被測(cè)量按所選擇的測(cè)量方法不同而有不同的數(shù)學(xué)模型。例如要測(cè)量一個(gè)球體的密度ρ，當(dāng)我們選用天平、砝碼以及已知密度ρ₀的液體，用兩次稱重(空氣中的稱重與浸入液體中的稱重)的方法得出時(shí)，
　　ρ=m/(m-m′)·ρ₀
　　式中m為在空氣中稱出的質(zhì)量，m′為在浸入液體中稱出的質(zhì)量。但是，當(dāng)我們采用測(cè)量球體體積V的方法時(shí)，就有了另外的數(shù)學(xué)模式:
　　ρ=m/V
　　如果考慮了某種修正的計(jì)算，相應(yīng)地，數(shù)學(xué)模型會(huì)有一定程度的復(fù)雜化。
　　在不確定度評(píng)定中，我們一般把被測(cè)的量稱為輸出量。上例中的ρ就是。把與ρ有函數(shù)關(guān)系的、通常是直接用實(shí)驗(yàn)測(cè)出的量，稱為輸入量，上例中的m、m′、ρ₀以及V都是。這些輸入量也可能是由若干個(gè)量得出的，例如m可能是若干個(gè)砝碼之和，V是通過直徑測(cè)量并經(jīng)過計(jì)算得出的，甚至測(cè)V時(shí)還有溫度的修正等。
　　數(shù)值關(guān)系式也可用于被測(cè)量的模型，必須注意是給定單位下的數(shù)值，其中包括經(jīng)驗(yàn)公式。
　　數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式為:
　　Y=f(X₁，X₂，…，X_N)
　　式中Y為被測(cè)量(輸出量)，X_i是輸入量，小寫字母為它們的估計(jì)值有:
　　y=f(x₁，x₂，…，x_N)
　　最簡(jiǎn)單的模型如:Y=X。例如X是體溫計(jì)上的示值，而Y是體溫。如由兩個(gè)砝碼X₁與X₂在天平上平衡得出被測(cè)質(zhì)量，則數(shù)學(xué)模型是:Y=X₁+X₂。如通過滴定管測(cè)出所消耗的溶液體積V，則滴定管上的兩次讀數(shù)(滴定的開始與終了)X₁與X₂同V之間的關(guān)系就是:V=X₁-X₂。如果用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量塊的中心長(zhǎng)度l_s與被檢量塊中心長(zhǎng)度l相比較的方法，用它們之間的差d來得出l時(shí)，數(shù)學(xué)模型只是l=l_s+d；但如果考慮兩量塊間的溫度差δθ、溫度θ以及線膨脹系數(shù)差δα、線膨脹系數(shù)α的修正時(shí)，就成了:
　　l=l_s+d-l_s[δα·θ+α·δθ]。
　　必須注意，數(shù)學(xué)模型中不能進(jìn)入帶有正負(fù)號(hào)(±)的項(xiàng)。

　　4.6  線性函數(shù)與非線性函數(shù)關(guān)系在計(jì)算被測(cè)量Y的估計(jì)值時(shí)有何不同？
　　當(dāng)輸入量X₁，X₂，…，X_N與輸出量Y之間的函數(shù)關(guān)系是:
　　Y=a₁X₁+a₂X₂+…+a_NX_N
時(shí)，這種函數(shù)稱為線性函數(shù)。例如通過兩個(gè)時(shí)間的測(cè)量得到一個(gè)時(shí)間間隔，通過在等臂天平上的若干個(gè)砝碼得出被測(cè)的質(zhì)量等都屬這一類，其特點(diǎn)是輸入量的各項(xiàng)指數(shù)均為正1或負(fù)1。上式中的各項(xiàng)系數(shù)a_i既可以是正值也可以是負(fù)值。當(dāng)函數(shù)關(guān)系式中輸入量相乘或除或指數(shù)不是1時(shí)，稱為非線性函數(shù)關(guān)系。例如通過球體直徑的測(cè)量得到球的體積，在恒定加速度下通過時(shí)間間隔的測(cè)量得到物體所行經(jīng)的距離等屬于這一類。
　　例如我們對(duì)兩個(gè)砝碼的質(zhì)量m₁與m₂在重復(fù)性條件下各測(cè)了10次，輸出量(我們所要求的被測(cè)量)是m=m₁+m₂。我們可以得到的10個(gè)m₁與m₂，分別相加而得出10個(gè)m，取這10個(gè)值的算術(shù)平均值作為m的最佳估計(jì)。我們也可用另一種方法，把10個(gè)m₁與m₂的值先計(jì)算其算術(shù)平均值，然后把這兩個(gè)算術(shù)平均相加作為m的最佳估計(jì)。在m=這樣的線性函數(shù)時(shí)，結(jié)果相同。
　　但是，如果是通過球體的直徑d的測(cè)量，求體積V，例如對(duì)d測(cè)量了10次，我們可以用每一個(gè)d的結(jié)果算出10個(gè)V取其算術(shù)平均值。第二種計(jì)算方法是把10次的d先取其算術(shù)平均值作為d的最佳估計(jì)求出體積V，由于d對(duì)V來說是非線性函數(shù)，以第一種計(jì)算方法較為優(yōu)越。

　　4.7  產(chǎn)生不確定度的原因一般主要有哪些？
　　一般來說，最主要的有以下幾個(gè)方面:
　　a.檢測(cè)手段的不理想:包括所用的測(cè)量?jī)x器計(jì)量性能、標(biāo)準(zhǔn)器的不確定度、測(cè)量方法和測(cè)量程序帶來的不確定度、測(cè)量模型不夠完整。
　　b.被測(cè)量本身帶來的:包括被測(cè)量不穩(wěn)定、取樣代表性不夠、被測(cè)樣品測(cè)量前的制備不理想。
　　c.影響量的修正:對(duì)影響量測(cè)量不可靠、修正所用物理常數(shù)不可靠、影響量不穩(wěn)定。
　　d.由于觀測(cè)人員帶來的:數(shù)據(jù)的估讀、屬于測(cè)量過程的調(diào)整、數(shù)據(jù)處理過程中的修約。

　　4.8  怎樣的不確定度分量可以忽略？
　　原則上說，其量值的大小對(duì)合成不確定度的影響不大者均可忽略。例如只有兩個(gè)不確定度的分量合成，其中的一個(gè)只是另一個(gè)的三分之一。由于合成是取平方和開方:=1.044≈1，因此，如果略去了這個(gè)較小者，最后的結(jié)果小了將近5%。應(yīng)認(rèn)為可以忽略。如果有4個(gè)分量，其中3個(gè)平均只約為最大的那個(gè)的三分之一，此時(shí)合成為，略去后則減小了13%，似也不算太大。如果有另外一個(gè)分量較大，例如是最大者的二分之一，那么去掉了3個(gè)較小的(只有最大的三分之一)也是可以的。因此，往往忽略那些量值較小的分量不去估算和合成，例如修正值的不確定度較小時(shí)、修正值本身較小也不加到測(cè)量結(jié)果中時(shí)、有時(shí)測(cè)量?jī)x器的分辨力導(dǎo)致的不確定度等。

　　4.9  什么是核查標(biāo)準(zhǔn)？
　　核查標(biāo)準(zhǔn)也是一種標(biāo)準(zhǔn)器，例如:砝碼、量塊、電阻、電池等。當(dāng)我們需要經(jīng)常校準(zhǔn)某種標(biāo)準(zhǔn)器時(shí)，為了檢查整個(gè)校準(zhǔn)過程是否處于正常狀態(tài)，往往建立一個(gè)或一組核查標(biāo)準(zhǔn)，要求其性能較為穩(wěn)定，用于周期性(例如每?jī)稍乱淮?或必要時(shí)(例如產(chǎn)生了懷疑)進(jìn)行核查。例如在經(jīng)常校準(zhǔn)4等量塊的實(shí)驗(yàn)室，保存一組(大小不同的幾個(gè))4等量塊，每三月按常規(guī)進(jìn)行一次校準(zhǔn)，得出其長(zhǎng)度之值以及校準(zhǔn)過程中的分散性(實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s)，用于核驗(yàn)校準(zhǔn)是否出現(xiàn)超出規(guī)定的系統(tǒng)性的和隨機(jī)性的誤差，用以決定校準(zhǔn)是否處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)之中，可否繼續(xù)進(jìn)行正常工作。

　　4.10  什么是控制圖？
　　一種標(biāo)繪著根據(jù)從總體中相繼抽取的樣本計(jì)算出的某種統(tǒng)計(jì)量的值，并畫有控制界限的圖，用于監(jiān)查一個(gè)過程是否處于控制狀態(tài)之下。根據(jù)控制圖中所用的統(tǒng)計(jì)量(如算術(shù)平均值、極差、實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差、不合格率等)的不同，來確定控制圖的不同類型。不確定度評(píng)定中用的控制圖用于校準(zhǔn)過程控制，通過核查標(biāo)準(zhǔn)的定期和不定期校準(zhǔn)，將校準(zhǔn)結(jié)果紀(jì)錄在圖中，每次的校準(zhǔn)結(jié)果作為一組抽樣，給出平均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差兩個(gè)曲線的控制圖。一般把容許標(biāo)準(zhǔn)偏差的兩倍作為警戒極限。

　　4.11  用統(tǒng)計(jì)方法得到的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差是否是測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)誤差？
　　不是，標(biāo)準(zhǔn)差是分散性的，隨機(jī)誤差的定義見3.8，本質(zhì)完全不同。分散性來源于測(cè)量過程中的隨機(jī)效應(yīng)，它并非某個(gè)測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)誤差。