山東電力研究院計(jì)量檢測中心  范巧成  汪東軍

　　有效數(shù)字的概念是計(jì)量學(xué)里的一個(gè)基本概念，它對規(guī)范數(shù)據(jù)記錄及測量結(jié)果的表達(dá)起著重要作用。但隨著誤差理論的發(fā)展，特別是《測量不確定度表示指南》和JJF1059-1999《測量不確定度的評定與表示》的實(shí)施，原來有效數(shù)字的定義對數(shù)據(jù)的表達(dá)已不適應(yīng)，為此筆者愿與大家就有效數(shù)字的定義作一探討。    

　　一、關(guān)于有效數(shù)字的定義或解釋

　　有效數(shù)字是對近似數(shù)而言的，其定義在《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》和《計(jì)量學(xué)概論》等資料中有時(shí)會看到不同的說法，例如:①如果近似數(shù)Z的誤差限是某一位上的半個(gè)單位，則從這一位起直到Z的第一個(gè)非零數(shù)字均為有效數(shù)字。②如果計(jì)量結(jié)果L的極限誤差不大于某一位上的半個(gè)單位，我們就說該位就是有效數(shù)字的末位，并且如果該位到L的左起第一個(gè)非零數(shù)字一共有幾位，就說L有幾位有效數(shù)字。③若數(shù)據(jù)的最末一位有半個(gè)單位以內(nèi)的誤差，而其它數(shù)據(jù)都是準(zhǔn)確的，則各位數(shù)字都是“有效數(shù)字”。④在《中國實(shí)驗(yàn)室注冊評審員培訓(xùn)教程》中給出的有效數(shù)字的概念為:當(dāng)該近似數(shù)的絕對誤差的模小于0.5(末)時(shí)，從左邊的第一個(gè)非零數(shù)字算起，直到最末一位數(shù)字為止的所有數(shù)字。所謂(末)，指的是任何一個(gè)數(shù)最末一位數(shù)字所對應(yīng)的單位量值，如19.8m的(末)為0.1m。這些定義說法雖然不同，但表達(dá)的意思是類似的，即都提到了誤差或極限誤差，且其數(shù)值不大于某一位上的半個(gè)單位，該數(shù)位為最小的有效數(shù)位，左起第一個(gè)非零數(shù)字為最大的有效數(shù)位。

　　在GB8170-1987《數(shù)值修約規(guī)則》中對術(shù)語“有效位數(shù)”的解釋是:對沒有小數(shù)且以若干個(gè)零結(jié)尾的數(shù)值，從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)得到的位數(shù)減去無效零(即僅為定位用的零)的個(gè)數(shù)；對其它十進(jìn)位數(shù)，從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)而得到的位數(shù)，就是有效位數(shù)。該解釋中沒有提及誤差或極限誤差。    

　　二、在測量不確定度的評定與表示中對有效數(shù)字的理解

　　JJF1059-1999 《測量不確定度的評定與表示》中沒有給出有效數(shù)字的定義，但使用了有效數(shù)字的概念，如8.13款:估計(jì)值的數(shù)值y和它的標(biāo)準(zhǔn)不確定度U_c(y)或擴(kuò)展不確定度U的數(shù)值都不應(yīng)該給出過多的位數(shù)。通常U_c(y)和U[以及輸入估計(jì)值x_i的標(biāo)準(zhǔn)不確度度U(x_i)]最多為兩位有效數(shù)字。輸入和輸出的估計(jì)值，應(yīng)修約到與他們不確定度的位數(shù)一致。例如:如果y=10.057 62Ω其U_c(y)=27mΩ，則y應(yīng)進(jìn)位到10.058 Ω。

　　也就是說當(dāng)不確定度取兩位有效數(shù)字時(shí)，輸出的估計(jì)值修約到與他們擴(kuò)展不確定度的位數(shù)相一致后，其最后兩位均會是不確定的，但他們同樣是有效數(shù)字，這樣上面的10.058 Ω就是5位有效數(shù)字。如果按照前面4個(gè)有效數(shù)字的定義來判斷 10.058 Ω的有效數(shù)字的位數(shù)，由于U_c(y)=27 mΩ，則其最多為4位有效數(shù)字。    

　　三、關(guān)于有效數(shù)字定義的探討

　　從4個(gè)有效數(shù)字的定義來看，有效數(shù)字都與過去所定義的極限誤差有關(guān)，且其數(shù)值不大于某一位上的半個(gè)單位。從前面2個(gè)定義看這個(gè)“某一位”不一定是數(shù)值的最后1位，在某書中給出這樣的例子:“4876±3和18765±12都是4位有效數(shù)字”。實(shí)際上這也不符合定義，因?yàn)閷τ?876±3來說誤差限為3，這里的“某一位”是個(gè)位，其半個(gè)單位是0.5，即極限誤差大于某一位上的半個(gè)單位，不符合極限誤差不大于某一位上的半個(gè)單位，嚴(yán)格按定義來講4876±3只有3位有效數(shù)字即487。同樣，18765±12說它是4位有效數(shù)字也不符合定義，因?yàn)榧僭O(shè)是4位，這里的“某一位”是十?dāng)?shù)位，其半個(gè)單位是5，而極限誤差是12，即極限誤差大于某一位上的半個(gè)單位，與定義不符。

　　從后面2個(gè)定義看也有問題。它是將近似數(shù)修約為其絕對誤差的模小于最末一位的半個(gè)單位或小于0.5(末)，也就是說當(dāng)我們給出一個(gè)報(bào)告值后，從其保留的位數(shù)就可知道其絕對誤差的模的極限?！吨袊鴮?shí)驗(yàn)室注冊評審員培訓(xùn)教程》中給出了這樣的例子:“測量結(jié)果的數(shù)字，其有效位數(shù)代表結(jié)果的不確定度，例如，某長度測量值為19.80mm，有效數(shù)字為3位；若是19.8mm，有效數(shù)字為4位。它們的絕對誤差的模分別小于0.5(末)，即分別小于0.05mm和0.005mm?！边@種數(shù)據(jù)的給出與JJF1059-1999《測量不確定度的評定與表示》不符。因?yàn)?，從這個(gè)例子可以獲知這兩個(gè)數(shù)的極限誤差分別為0.05mm和0.005mm，也就是其擴(kuò)展不確定度分別為0.05mm和0.005mm，按照J(rèn)JF1059-1999這樣的測量結(jié)果應(yīng)修約到與他們不確定度的位數(shù)一致，即應(yīng)為19.80mm和19.800mm。

　　綜合上述情況，筆者認(rèn)為對于近似數(shù)應(yīng)繼續(xù)使用有效數(shù)字的概念，但其定義應(yīng)作一變化，否則無法與JJF1059-1999《測量不確定度的評定與表示》中規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效數(shù)字位數(shù)以及輸出量的估計(jì)值的有效數(shù)字位數(shù)相適應(yīng)。有效數(shù)字應(yīng)當(dāng)是給出的有用的數(shù)字，它與顯示裝置的分辨力、數(shù)據(jù)處理者的需要或不確定度的數(shù)值等有關(guān)，因此，對有效數(shù)字是否可給出這樣的定義:有效數(shù)字是觀測者或數(shù)據(jù)處理者根據(jù)顯示裝置的分辨力、數(shù)據(jù)處理的需要或不確定度的數(shù)值等對一個(gè)近似數(shù)所保留的位數(shù)，它是從保留的末位直到左邊的第一個(gè)非零數(shù)字的所有數(shù)字。關(guān)于有效位數(shù)的確定方法與GB8170-1987《數(shù)值修約規(guī)則》相同，即:對沒有小數(shù)且以若干個(gè)零結(jié)尾的數(shù)值，從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)得到的位數(shù)減去無效零(即僅為定位用的零)的個(gè)數(shù)；對其它十進(jìn)位數(shù)，從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)而得到的位數(shù)，就是有效位數(shù)。

　　這里“根據(jù)顯示裝置的分辨力”是指所讀取和記錄的數(shù)值應(yīng)當(dāng)是顯示裝置的分辨力的整數(shù)倍，此時(shí)所獲得的數(shù)據(jù)位數(shù)是恰當(dāng)?shù)?；“根?jù)數(shù)據(jù)處理的需要”是指例如:將無限不循環(huán)小數(shù)π=3.14159…根據(jù)數(shù)據(jù)處理的需要截取到百分位可得近似數(shù)3.14，此近似數(shù)為3位有效數(shù)字，如根據(jù)需要截取到千分位可得近似數(shù)3.142，此近似數(shù)為4位有效數(shù)字?！案鶕?jù)不確定度的數(shù)值”是指符合JJF1059-1999的要求，例如某測量結(jié)果為L=10.1245 m，經(jīng)測量不確定度評定其擴(kuò)展不確定度為U=0.10m，k=2，則報(bào)告值應(yīng)為L=10.12 m，為4位有效數(shù)字，如果其擴(kuò)展不確定度為U=0.010 m，k=2，則報(bào)告值應(yīng)為L=10.124m，為5位有效數(shù)字。另外，對于一個(gè)位數(shù)很多的計(jì)算結(jié)果，在沒有按規(guī)定修約之前最好不要說它有幾位有效數(shù)字，而只說它是幾位數(shù)。

　　這樣，有效數(shù)字的定義就與JJF1059-1999《測量不確定度的評定與表示》基本一致，也符合習(xí)慣，即按規(guī)定給出的位數(shù)都應(yīng)當(dāng)是有效的位數(shù)，無效的位數(shù)也就沒有給出的必要。