遼寧省盤錦市計量測試所  楊晨松

　　GUM中及JJF1059—1999中對函數(shù)數(shù)學(xué)模型都有較為具體的說明。而數(shù)學(xué)模型的建立，在測量不確定度的分析評定中占有首要位置。所謂數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語言給出的物理量之間的關(guān)系。測量的數(shù)學(xué)模型就是指得到被測量Y所列的數(shù)學(xué)計算式。    

　　一、由于實(shí)驗(yàn)測量手段、測量過程的差異，同一被測量其數(shù)學(xué)模型(函數(shù)形式)會有不同的表現(xiàn)形式

    例如:當(dāng)我們選用了天平、砝碼和已知密度ρ₀的液體，測量一個球體的密度ρ。
    方法一:兩次稱重法。分別在空氣及液體中對球體進(jìn)行稱重m=ρV；m′=ρ₀V(V——球體積、m——球體空氣中質(zhì)量、m′———球體液體中質(zhì)量)。合并以上兩式:
    方法二:測球體積法。利用流體靜力學(xué)阿基米德定理測得V，用天平測出質(zhì)量m，得到被測量ρ=m/v
    在實(shí)踐中采取哪種函數(shù)型式能取得被測量的更小的不確定度，則依據(jù)所采用的測量方法和實(shí)驗(yàn)條件而定。
    

　　二、在建立合理的數(shù)學(xué)模型后，就可以對各輸入量進(jìn)行分析和合成了

    一種情況輸入量x₁、x₂、……、x_n與輸出量Y間的關(guān)系是:Y=a₁ x₁+a₂ x₂+……+a_n x_n，這種函數(shù)關(guān)系稱為線性函數(shù)，例如一維坐標(biāo)上兩點(diǎn)間距S_AB=X₂-X₁；等臂天平上砝碼稱重W=g₁+g₂+……+g_w等都屬此類。其特點(diǎn)是輸入量各項(xiàng)指數(shù)均為正1，而各項(xiàng)系數(shù)可正可負(fù)。另一種情況，當(dāng)函數(shù)關(guān)系式中輸入量相乘、相除或指數(shù)不為1時，稱為非線性函數(shù)。例如通過圓的直徑的測量得到圓的面積:S=π(D/2)²；在自由落體中，通過起始與終點(diǎn)的時間間隔測量得到下落距離等都屬此類。
    自由落體運(yùn)動(不計空氣阻力)通過測始末時間間隔t，求下落距離S的最佳估值。這是一個非線性函數(shù)，求被測量的最佳估值。
    
    
    不難證明:
    
    或者說S≠S′
    在數(shù)學(xué)中我們知道第一種方法得到的S更為準(zhǔn)確。也就是說對非線性函數(shù)而言，先分別求出輸出量的值再將輸出量的值取算術(shù)平均值的算法更具有優(yōu)越性。
    以兩塊砝碼求和為例，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度μ(m₁)=μ(m₂)=0.5g，m₁=m₂=500g，輸出量m=m₁+m₂=1000g的不確定度μ(m)=[μ²(m₁)+μ²(m₂)]^0.5=0.71g；相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度μ_REL(m)=μ(m)/1000=0.7×10^-3。
    換一種方法求μ_REL(m)，因?yàn)?I>μ_REL(m₁)=μ_REL(m₂)=1×10^-3，若直接采用方和根法，得μ′_REL(m)=[(m₁)+(m₂)]^0.5=1.4×10^-3。可見μ′_REL(m)比μ_REL(m)大了近一倍，由此得出結(jié)論在用輸入量的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成輸出量的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度時一定要慎重。除非輸入量與輸出量的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度有同一個分母(例如化學(xué)分析中的濃度不確定度)，并且他們表示的含義一致，否則不能用方和根法直接合成。我們再舉一例，說一下在實(shí)際工作中常犯的錯誤。
    例:用兩塊S級的電壓表V₁、V₂(量程分別為X₁，X₂)測量電路中串聯(lián)兩電阻R₁、R₂(R₁≠R₂)的電壓V_AC=V_AB+V_BC。求V_AC的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度。
    

    很多實(shí)驗(yàn)者是這樣分析的:用兩塊表V₁、V₂測得電壓V_AB、V_BC的相對不確定度分別為:μ_REL(V_AB)=μ(V₁)/V_AB；μ_REL(V_BC)=μ(V₂)/V_BC。而μ(V₁)=(SX₁%)/ ；μ(V₂)=(SX₂%)/ ，則輸出量V_AC的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度μ_REL(V_AC)=((V_AB)+(V_BC))^0.5=[(X₁ /V_AB)²+(X₂ /V_BC)²]^0.5，這個結(jié)果是錯誤的。在指示性儀表中的引用誤差是不能直接用來合成相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度的。正確的算法應(yīng)是:先求出V₁、V₂的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量μ(V₁)=(SX₁%)/；μ(V₂)=(SX₂%)/，合成輸出量μ(V_AC)；最后求V_AC的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度:μ_REL(V_AC)=μ(V_AC)/(V_AB+V_BC)=/V_AC
    對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行不確定度分析時:(1)無論對線性函數(shù)還是非線性函數(shù)均應(yīng)先求出每次測量單列輸入量所對應(yīng)的各輸出量的值，再對各輸出量的值求算術(shù)平均值得到最佳估值，采用這種算法可靠性最高；(2)輸入分量的不確定度無論以怎樣的形式給出，最好化成標(biāo)準(zhǔn)不確定度一種形式來合成輸出量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，進(jìn)而合成相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度，這樣做可避免概念運(yùn)用的失誤。