中國計量科學(xué)研究院  陶香琴

　　編者按
　　該文作者長期從事激光干涉測量和對標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺進行量值傳遞的工作，文中對標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺測量結(jié)果不確定度的評定思路、評定方法和步驟，概率分布的處理，怎樣取值和計算，尤其對標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺任一長度的測量結(jié)果擴展不確定度，用統(tǒng)一表達式來表示的方法，進行了系統(tǒng)的論述，是一篇規(guī)范化的專業(yè)不確定度評定文章，可供有關(guān)人員工作中參考。
　　本文介紹以優(yōu)質(zhì)碳素鋼為材料制造的標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺測量結(jié)果不確定度的評估方法；與因瓦或不銹鋼為材料制造的標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的分析方法類同。    

　　一、測量原理和方法

　　依據(jù)JJG74-1991《標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺》檢定規(guī)程，標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的實際長度，是在27m動態(tài)校準(zhǔn)儀標(biāo)準(zhǔn)裝置上，用讀數(shù)顯微鏡對其零分劃線及被測分劃線進行瞄準(zhǔn)定位，而兩分劃線間的長度，由移動棱鏡產(chǎn)生的偏振光干涉距離確定。也就是說，在雙頻激光動態(tài)校準(zhǔn)儀上，通過偏振光干涉測量原理，將激光波長直接復(fù)現(xiàn)到被檢標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺上，實現(xiàn)絕對法測量。    

　　二、數(shù)學(xué)模型

　　標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺在20℃時的長度L_20℃(輸出量估計值)由下式求得:
　　L_20℃=L+[92.9(T-20℃)-0.269(P-101325Pa)+0.042(F-1333.2Pa)]×10^-8L-α(T₁-20℃)L    (1)

　　(1)式即為求解輸出量估計值與輸入變量函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。
　　式中:L——在檢定環(huán)境下動態(tài)校準(zhǔn)儀測得的長度，m；T——沿光路的空氣平均溫度，℃；P——空氣壓力，Pa；F——空氣中水蒸汽分壓，Pa；α——標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺在常溫條件下的平均溫度線膨脹系數(shù)，℃^-1；T₁——標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的平均溫度，℃。    

　　三、方差和靈敏系數(shù)

　　根據(jù)方差合成定律，輸出量的估計方差為各輸入量的估計方差所合成。由于(1)式是一線性數(shù)學(xué)模型，同時，式中各輸入量按相互獨立互不相關(guān)處理，因而在方差合成中不考慮高階項及相關(guān)項的影響。依方程:
　　
　　將函數(shù)式(1)對各輸入變量求偏導(dǎo),可得輸出量估計方差:
    

　　這里要指出的是，在(5)式中遺漏了一項不能用解析形式的數(shù)學(xué)表達式來表示的不確定度來源，但它們對輸出量估計方差有很大影響，即測量裝置調(diào)整不完善引入的不確定度。

　　由于固定在同一運行小車上的讀數(shù)顯微鏡的視準(zhǔn)軸與移動棱鏡頂角之間，存在水平面內(nèi)60mm的距離，當(dāng)它們隨小車移動時所產(chǎn)生的被測軸線與標(biāo)準(zhǔn)軸線既不重合，又不在各自的延長線上，也就是不符合測量的阿貝原則，這樣，當(dāng)導(dǎo)軌在水平面內(nèi)產(chǎn)生直線性偏擺時，便會產(chǎn)生測量結(jié)果的阿貝誤差，標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺測量中的導(dǎo)軌直線性阿貝誤差，已成為重要的不確定度來源，因而輸出量估計方差的完整表達式應(yīng)為:
    
    式中:u₇=u(L_Φ)——導(dǎo)軌直線性偏差引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量。
    由(6)式可以看出，對輸出量估計方差有所貢獻的不確定度來源于四大部分:

　　1.測量長度L的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₁；
　　2.光路空氣折射率修正中，溫度、氣壓、濕度測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₂、u₃、u₄，其中忽略了Edlen公式本身的不確定度，及空氣成分中CO₂含量對折射率的影響；
　　3.標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的溫度線膨脹系數(shù)及尺溫測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₅、u₆；
　　4.測量裝置調(diào)整不完善引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₇。    

　　四、不確定度來源(見表1)   

　　五、輸入量標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定

　　1.測量長度L的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₁
　　前面已經(jīng)提及，標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺在檢定環(huán)境下的長度L是通過偏振光干涉測量的原理將激光波長直接復(fù)現(xiàn)到被檢長度上的。而激光波長值的準(zhǔn)確度、激光頻率的穩(wěn)定度、標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺引張力的變化、讀數(shù)顯微鏡對分劃線的瞄準(zhǔn)偏差等都將影響長度L的測量不確定度。

　　(1)激光平均真空波長值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(L₁)
　　由動態(tài)校準(zhǔn)儀提供的技術(shù)參數(shù):其平均真空波長值為632.991354nm±1×10^-7L(k=3)
　　則由真空波長值引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度
　　u(λ)=Δλ∕3=1×10^-7L/3=3.3×10^-8L
　　估計該波長值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度具有99%的可靠性，則u(λ)的自由度為:
　　
　　可認(rèn)為該自由度為無窮大，故
　　u(L₁)=u(λ)=3.3×10^-8L
　　ν_1.1=∞

　　(2)激光頻率穩(wěn)定度引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(L₂)
　　根據(jù)動態(tài)校準(zhǔn)儀提供的技術(shù)參數(shù)，激光頻率的長期穩(wěn)定度為2×10^-8L，按k=3處理，則
　　u(L₂)=2×10^-8L∕3=0.7×10^-8L
　　同樣認(rèn)為，該標(biāo)準(zhǔn)不確定度具有99%的可靠性，則
　　ν_1.2=∞

　　(3)標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺引張力變化引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(L₃)
　　根據(jù)檢定規(guī)程，標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的長度是指在規(guī)定引張力(49N或98N)下的長度，而檢定平臺與尺面間的摩擦力及滑輪摩擦力、重錘重量的偏差等都會使引張力發(fā)生變化，從而引起尺長變化。
　　該測量裝置采用雙滾動軸承檢定平臺及滑輪，由實驗得，標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺引張力最大變化為:
　　ΔP=±0.15N
　　由此帶來的尺長最大測量誤差為:
　　ΔL=±27.6×10^-8L
　　在缺乏更多信息情況下，一般估計被測量值以等概率全部落入分散區(qū)間內(nèi)更合理，也即被測量值在分散區(qū)間內(nèi)服從均勻分布，這樣在保證同樣置信概率下求得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，比正態(tài)分布、三角分布、梯形分布都要大，從而顯得更為安全可靠。
　　故該誤差引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:
　　
　　估計u(L₃)有75%的可靠性，則自由度:
　　 

　　(4)測量重復(fù)性估算的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(L₄)
　　此項不確定度主要體現(xiàn)在讀數(shù)顯微鏡對標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺分劃線的瞄準(zhǔn)偏差上。根據(jù)歷次實驗檢測記錄，單一瞄準(zhǔn)實驗標(biāo)準(zhǔn)差S_r=1.2μm，ν=9。檢定標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺長度時，需要對零分劃線及被測分劃線分別瞄準(zhǔn)，檢定時取兩次測量的均值為測量結(jié)果，則
    
    合成以上四項，得在檢定環(huán)境下測量標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺長度L的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量:
    
    將L=5m代入
    u(L₃)=0.80μm
    u₁=u(L)=1.45μm
    依公式，自由度:
    
    由于ν_1.1=ν_1.2=∞，故u(L₁)、u(L₂)不參與對ν(L)的評定，則
    
    自由度取整時，一般截尾而不進位，這樣在同樣置信概率下查表所得包含因子k值較大而比較安全，故
    u₁=[(16.3×10^-8L)²+(1.2μm)²]^1/2
    ν₁=15

　　2.空氣溫度測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₂
　　標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺在(20±0.3)℃恒溫室內(nèi)檢定，室內(nèi)沿測線方向溫度梯度優(yōu)于0.3℃，光路上用10支均布的溫度傳感器測定空氣平均溫度，氣溫測量可準(zhǔn)確到0.1℃，考慮測量過程溫度波動等因素的影響，氣溫最大測量誤差為:
　　ΔT=±0.15℃
　　估計為均勻分布，則測溫標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:
    
    故空氣溫度測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為:
    u₂=C₂u(T)=8.4×10^-8L
    按u(T)有90%可靠性估計，則
    

　　3.光路氣壓測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₃
　　光路氣壓用10Pa數(shù)字壓力計測定，其氣壓訂正值可忽略不計，考慮測量過程氣壓波動等因素的影響，氣壓最大測量誤差為:
    ΔP=±30Pa
    按矩形分布估計，氣壓測量標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:
    
    故由氣壓測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為:
    u₃=C₃u(P)=4.6×10^-8L
    估計u(P)的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度為10%，則
    

　　4.空氣濕度測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₄
　　已知空氣相對濕度的最大測量誤差為:ΔU=±10%RH
　　換算成空氣中水蒸汽分壓測量誤差為:ΔF=±234Pa
　　按矩形分布估計，濕度測量標(biāo)準(zhǔn)不確定度為: 
　　 
　　故由濕度測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為:
　　u₄=C₄u(F)=5.7×10^-8L
　　估計u(F)的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度為20%，則
　　 

　　5.標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺溫度線膨脹系數(shù)引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₅
　　標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的材料，可用優(yōu)質(zhì)碳素鋼、不銹鋼和因瓦材料制造,它們在常溫范圍內(nèi)(-5℃～35℃)的平均溫度線膨脹系數(shù)及用“空調(diào)法”測量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度見表2。    

　　從表中看出,三種材料的溫度線膨脹系數(shù)α相差極大,其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(α)也不同。
　　在實驗室內(nèi)，恒溫要求為(20±0.3)℃，即(T₁-20℃)=±0.3℃
　　對用優(yōu)質(zhì)碳素鋼為材料的標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺，由溫度線膨脹系數(shù)引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為:
　　u₅=C₅u(α)=(T₁-20℃)L×u(α)=0.3℃L×1×10^-7 ℃^-1=3×10^-8L
　　估計u(α)的可靠性為90%，故:
　　

　　6.標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺溫度測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₆
　　標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的溫度，同樣以在其旁邊的溫度傳感器測定，考慮到測量過程空氣溫度波動時金屬材料溫度對空氣溫度的滯后現(xiàn)象，尺溫最大測量誤差可能達:
    ΔT₁=±0.2℃
    估計其為均勻分布，則尺溫測量標(biāo)準(zhǔn)不確定度:
    
    對優(yōu)質(zhì)碳素鋼標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺，由尺溫測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為:
    u₆=C₆u(T₁)=αLu(T₁)=11.5×10^-6 ℃^-1L×0.12℃=138×10^-8L
    估計u(T₁)有85%可靠性，故
    

　　7.測量裝置調(diào)整不完善引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₇
　　根據(jù)實驗檢測，導(dǎo)軌在水平面內(nèi)直線性偏擺產(chǎn)生的最大測量誤差為:
　　ΔL_Φ=±1.8μm
　　估計其為矩形分布，則
　　
　　估計u(L_Φ)有75%可靠性，則
　　
　　而導(dǎo)軌在垂直面內(nèi)的傾斜，使被測量與標(biāo)準(zhǔn)量產(chǎn)生同向同量的長度變化，在比較結(jié)果中相互抵消而可不考慮。    

　　六、輸入量標(biāo)準(zhǔn)不確定度的合成

　　由(6)式可得:
    
    將L=5m代入，則
    uc(L_20℃)=7.13μm
    而u₁=1.45μm，u₂=0.42μm，u₃=0.23μm，u₄=0.28μm，u₅=0.15μm，u₆=6.90μm，u₇=1.04μm
    ν₁=15，ν₂=50，ν₃=50，ν₄=12，ν₅=50，ν₆=22，ν₇=8
    則合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效自由度為:
    
    

　　七、擴展不確定度

　　根據(jù)概率論的中心極限定理，大量獨立分布的隨機變量，其和的概率分布近似于正態(tài)分布；由于本文分析的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，是由有限個隨機變量所合成，它的概率分布可按近似于正態(tài)分布的t分布處理。另一方面，作為量值傳遞中的標(biāo)準(zhǔn)尺，我們要求其測量結(jié)果擴展不確定度達到約99%的置信水準(zhǔn)。

　　故由置信概率P=99%和有效自由度ν_eff=24，查t分布表，可得臨界值t_p(ν)，則包含因子:
    k₉₉=t_p(ν_eff)=t₉₉(24)=2.80
    擴展不確定度為:
    U₉₉=k₉₉u_c(L_20℃)=2.80×[(139×10^-8L)²+(1.59μm)²]^1/2    (8)
    將L分別以0.1m、1m、5m、10m、25m代入(8)式，則U₉₉分別為:
    4.5μm、5.9μm、20.0μm、39.2μm、97.4μm
    由上面數(shù)據(jù)我們歸納成:對任一長度測量結(jié)果的擴展不確定度可表示為:
    U₉₉=(4+4L)μm   L以米為單位    (9)    

　　八、不確定度報告

　　在(20±0.3)℃環(huán)境條件下，以激光波長為標(biāo)準(zhǔn)，對以優(yōu)質(zhì)碳素鋼為材料的標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺任一長度的測量結(jié)果擴展不確定度為:
　　U₉₉=(4+4L)μm   L以米為單位
　　該擴展不確定度由不隨長度變化的固定部分及隨長度而變的比例部分組成。
　　它的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:
　　u_c(L_20℃)=[(1.39×10^-6L)²+(1.59μm)²]^1/2
　　u_c(L_20℃)的有效自由度為:ν_eff=24
　　包含因子:k₉₉=2.80
　　該擴展不確定度具有約99%的置信水準(zhǔn)。