栗氏量集升、豆、鬴三量于一器,并簡要說明了器的尺度、容積以及重一鈞。新莽銅嘉量則是集龠、合、升、斗、斛五量,每一量都有詳盡的尺寸及計算容積?!稘h書·律歷志》另注明“重二鈞”。②關(guān)于“內(nèi)方尺而圜其外”與嘉量的“庣旁”栗氏量記:“內(nèi)方尺而圜其外,其實一鬴,”嘉量刻銘:“方尺而圜其外,庣(tiao)旁九厘五毫。……容十斗?!崩跏狭颗c新莽銅嘉量皆采用先取一正方形,每邊長一尺,在正方形外作圓。但栗氏量所用的尺是多長,一鬴的容積是多少,都已無法知道了。而嘉量度量衡三個量的量值必須體現(xiàn)漢代的實際情況:一尺是23.1厘米,一斛之積是1620立方寸。要滿足一斛之積是1620立方寸,圓面積就必須是162平方寸,如果圓的大小是方一尺作外接圓,那么實際計算所得的圓面積就是157平方寸,比所要求的少了5平方寸。如何做到既要與栗氏量“方尺而圓其外”的提法相同,又能保證圓面積達到162平方寸呢?這一點確實是一個很大的難題。劉歆不但是一位古文經(jīng)學大師,而且還精通律歷學,對數(shù)學也有很深的造詣,他想,只要把圓徑加大五平方寸,圓面積不就加大了嗎。在他的苦苦尋求下,又經(jīng)過反復運算,終于提出了一個最佳方案,即在正方形的對角線兩端各加上9厘5毫,就能與162平方寸相符了。劉歆還為這個“九厘五毫”專門取了一個特殊的名字“庣旁”。這個方法真是太巧妙了,這時劉歆才大大地松了一口氣,同時也為自己的創(chuàng)造感到非常滿意。③關(guān)于黃鐘律栗氏量又說:“聲中黃鐘之宮”,我們再來看看嘉量的刻銘是如何與它相對應的吧?嘉量每一器分銘前都加有一個“律”字,如律嘉量斛、律嘉量斗等。律嘉量龠銘文說得更具體:“積八百一十分,容如黃鐘”。二者說法雖不完全相同,但其承傳關(guān)系卻十分清楚。關(guān)于“聲中黃鐘之宮”,當然不是說敲擊栗氏量發(fā)出的聲音,與黃鐘律之宮音相合。劉歆根據(jù)他的理解,認為應該是“栗氏量尺”與黃鐘律管的長度有某種內(nèi)在的聯(lián)系。最后提出了以黃鐘律管、累黍定度量衡的理論。這一理論的提出,在中國度量衡史上影響極大,以致其后為此研究、討論了1000多年。關(guān)于黃鐘、累黍定度量衡,已有許多文章做過論述,這里不再展開。古代的量器,很難達到較高的精確度,故有“以度數(shù)審其容”之說。新莽嘉量就是一件以尺度來計算容積的高科技產(chǎn)品。嘉量銘文:“冥(冪)百六十二寸,深尺,積千六百二十寸,容十斗?!奔瘟扛髌鞫际菆A筒形,要計算它們的容積,就要牽涉圓周率的問題。劉歆用的是什么圓周率呢?可惜銘文沒有提到,他使用的圓周率及求圓周率的方法,就成了千古之謎。在其后二百多年的三國魏時,數(shù)學家劉徽最早對新莽銅嘉量刻銘中的計算容積作了研究。他認為劉歆在設(shè)計嘉量時,對庣旁的設(shè)置已精確到了厘毫,在計算容積時,是不會使用《周髀算經(jīng)》里說的“徑一周三”這樣粗略圓周率的。但是他究竟用的是什么圓周率呢?劉徽為了對新莽銅嘉量作考校,經(jīng)過反復研究,終于發(fā)明了用割圓術(shù)來求圓周率,再經(jīng)過無數(shù)次運算,得到圓周率是3.14,為此他成為中國運用正確方法求圓周率的首創(chuàng)者。緊接著又以他求得的圓周率去核算嘉量的圓面積,得到的數(shù)值為“冪一百六十一寸有奇”,即不到162寸??上麤]有再作更進一步的探討。在劉徽之后的200多年,即南北朝時期。有一天,數(shù)學家祖沖之在皇宮中見到這件新莽銅嘉量,他十分興奮,大為驚嘆道,銘文刻得如此詳盡,真是了不起。祖沖之畢竟是一位數(shù)學家,立刻想到這件嘉量計算精確的程度如何?自己為何不按照器壁上刻的銘文親自驗算一下呢。要計算斛的容積,第一步先算出它的直徑,即一尺正方形對角線長為
寸,庣旁九厘五毫(0.095寸),圓面積的直徑為14.1421356+2×0.095=14.3321356寸,銅斛的半徑是7.166寸,圓面積即銘文中所說162平方寸,祖沖之模擬了一下劉歆的計算過程,推算出劉歆所用的圓周率是162方寸÷(7.166寸)
2=3.1547。祖沖之推算出劉歆的圓周率后,十分贊賞,因為在劉歆所處的西漢末年,最著名的數(shù)學書《周髀算經(jīng)》里說的是“徑一周三”。就是說,圓周是直徑的三倍,如果直徑是一尺,圓周率就是三尺。圓周率是3,而劉歆所用的圓周率卻是3.1547,比起“徑一周三”的算法進步很多。這提起了祖沖之更大的興趣。祖沖之知道,劉徽在劉歆之后已采用了割圓術(shù)計算出圓周率是3.14。劉徽這種方法是有正確的理論作指導的,對這一點祖沖之深信不疑,同時也是心悅誠服的。但是,劉徽只取了小數(shù)點后兩位數(shù),把后面幾位數(shù)舍棄了。祖沖之覺得,如果不算出更精確的圓周率,也就沒有辦法更進一步精確地校核嘉量的計算容積。于是決心按照這一方法繼續(xù)計算下去。為此祖沖之把自己的小書房重新翻修,把地板刨得十分光滑。祖沖之的兒子祖暅(gèng)看到后,不解地問道:“您這是要做什么呀?”祖沖之回答說:“我想計算出比劉徽更精確的圓周率?!弊鏁溤诟赣H的影響下,也對數(shù)學很感興趣,十分高興地說:“我來做您的幫手吧?!弊鏇_之高興地點頭答應了。祖沖之和兒子一起,在書房的地上畫了一個直徑為一丈的大圓,開始了艱苦的計算。劉徽算到96邊形就停止了,而祖沖之則算到12288邊形才停下來。為此祖沖之父子幾乎是廢寢忘食、夜以繼日,無數(shù)次耗盡燈油。終于得出比劉徽更精確的圓周率,即:如果直徑是1,圓周大于3.1415926,小于3.1415927。這個結(jié)論,用現(xiàn)代數(shù)學符號表示:3.1415926<π<3.1415927。祖沖之當時也并不知道,他已成為全世界最早把圓周率精確地計算到小數(shù)點后七位數(shù)的第一人。祖沖之求得了這個精確的圓周率后,再去校驗嘉量上的刻銘,終于發(fā)現(xiàn)劉歆的計算還是不夠精確,他指出:嘉量圓面積設(shè)計162平方寸,按圓周率是3.1415926計算,半徑是7.180965寸,直徑是14.36193寸有余,這樣,庣旁就不是銘文所說的九厘五毫,而正確的庣旁應該是一分九毫有余,劉歆庣旁比理論值少了一厘四毫有余。他再用這個數(shù)字和自己求得的圓周率去計算嘉量的容積,果然得到1620立方寸。劉歆設(shè)計制造了這樣一件量器,甚至影響到數(shù)學上重大成果的取得,這是連他自己也不會想到的。歷代對新莽銅嘉量都給予了極大的關(guān)注,唐宋時盡管仍不斷有學者對它做過討論、研究,但都懷疑實物是否還存在?元、明兩代四百年間,也未見有新莽銅嘉量的下落。到了清朝乾隆初年,新莽銅嘉量被發(fā)現(xiàn)藏于內(nèi)府,乾隆皇帝對它給予了極大的關(guān)注,并參照新莽銅嘉量設(shè)計制造了三圓一方乾隆嘉量,把方、圓兩件分別陳設(shè)在乾清宮和太和殿前亭屋內(nèi),以象征清廷的法度與至高無上的權(quán)力。1924年,紫禁城被改造籌建為故宮博物院,在清點文物時發(fā)現(xiàn)了這件珍品,再次引起學術(shù)界的關(guān)注,隨后馬衡、王國維、劉復等相繼對它作了研究、考證,對這件曠世瑰寶在歷史、科學技術(shù)、數(shù)學、度量衡等方面所起的作用給予了高度評價。劉復受當時任博物院院長馬衡先生的重托,對嘉量作了十分精細的測量,并寫了《新嘉量之校測與推算》一文,詳細記述了測量方法及推算經(jīng)過,最后求得新莽時一尺長23.1厘米、一升容200毫升、一斤重226.7克。新莽銅嘉量在其后的兩千年,不斷引起后世如此多的關(guān)注,在世界度量衡史上也是絕無僅有的。如今,這件國之瑰寶仍保存良好,珍藏于臺灣故宮博物院。