計(jì)量培訓(xùn)：測(cè)量不確定度表述講座
國(guó)家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局  李慎安

　　7.1  合成標(biāo)準(zhǔn)不確定u_c的定義如何理解？
　　合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度無例外地用標(biāo)準(zhǔn)偏差給出，其符號(hào)u以小寫正體c作為下角標(biāo)；如給出的為相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度，則應(yīng)另加正體小寫下角標(biāo)rel，成為u_crel。按《JJF1001》定義為:當(dāng)測(cè)量結(jié)果是由若干個(gè)其他量的值求得時(shí)，按其他各量的方差和協(xié)方差算得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。如各量彼此獨(dú)立，則協(xié)方差為零；如不為零(相關(guān)情況下)，則必須加進(jìn)去。
　　上述定義可以理解為:當(dāng)測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度由若干標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量構(gòu)成時(shí)，按方和根(必要時(shí)加協(xié)方差)得到的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。有時(shí)它可以指某一臺(tái)測(cè)量?jī)x器，也可以指一套測(cè)量系統(tǒng)或測(cè)量設(shè)備所復(fù)現(xiàn)的量值。在某個(gè)量的不確定度只以一個(gè)分量為主，其他分量可忽略不計(jì)的情況下，顯然就無所謂合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度了。

　　7.2  什么是輸入量、輸出量？
　　在間接測(cè)量中，被測(cè)量Y不能直接測(cè)量，而是通過若干個(gè)別的可以直接測(cè)量的量或是可以通過資料查出其值的量，按一定的函數(shù)關(guān)系得出:
　　Y=f(X₁，X₂，…，X_n)
　　其中X_i為輸入量，而把Y稱之為輸出量。
　　例如:被測(cè)量為一個(gè)立方體的體積V，通過其長(zhǎng)l、寬b和高h三個(gè)量的測(cè)量結(jié)果，按函數(shù)關(guān)系V=l·b·h計(jì)算，則l，b，h為輸入量，V為輸出量。

　　7.3  什么叫作線性合成？
　　例如在測(cè)量誤差的合成計(jì)算中，其各個(gè)誤差分量，不論是隨機(jī)誤差分量還是系統(tǒng)誤差分量，當(dāng)合成為測(cè)量誤差時(shí)，所有這些分量按代數(shù)和相加。這種合成的方法稱為線性合成。
　　不確定度的各個(gè)分量如彼此獨(dú)立，則恒用方和根的方式合成。但如果其中某兩個(gè)分量彼此強(qiáng)相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)r=+1，則合成時(shí)是代數(shù)相加，即線性合成而非方和根合成。

　　7.4  什么叫靈敏系數(shù)？
　　當(dāng)輸出量Y的估計(jì)值y與輸入量X_i的估計(jì)值x₁，x₂，…x_n之間有
　　y=f(x₁，x₂…，x_n)的函數(shù)關(guān)系時(shí)，在不確定度的傳播中，把偏導(dǎo)數(shù)，=c_i稱為靈敏系數(shù)，它定量地給出了輸入量x_i，與輸出量y之間的相互變化關(guān)系之比值。它本身也是個(gè)量值，有數(shù)值和量綱，往往其量綱并非1，而是有測(cè)量單位的，這種情況下不能將它按純數(shù)對(duì)待。
　　偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是在代入輸入量的估計(jì)值時(shí)作出評(píng)定，即在X_i=x_i時(shí)評(píng)定的。
　　
　　它描述了輸入估計(jì)值x_i的微小變化△x_i，引起y的變化(△y)_i=△x_i。如果這個(gè)變化是由估計(jì)值x_i的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x_i)所引起，則y相應(yīng)的變化為u(x_i)。因此，合成方差可以看作各項(xiàng)方差之和，而每一項(xiàng)代表了由每個(gè)輸入估計(jì)值x_i相關(guān)聯(lián)之估計(jì)方差產(chǎn)生的輸出估計(jì)值y的估計(jì)方差。也就是:
　　式中:
　　c_i=，u_i(y)=|c_i|u_i(x_i)
　　以下給出幾種比較簡(jiǎn)單而又較常見的函數(shù)關(guān)系的靈敏系數(shù):
　　(a)y=Ax₁+Bx₂
　　c₁=A；c₂=B
　　(b)y=1/x
　　c=-(1/x²)
　　(c)y=x₁/(x₁+x₂)
　　c₁=x₂/(x₁+x₂)²
　　c₂=-x₁/(x₁+x₂)²
　　(d)y=x/(1+x)
　　c=1/(1+x)²
　　(e)y=x₁x₂
　　c₁=x₂，c₁=x₁
　　(f)y=x²
　　c=2x
　　(g)y=x^1/2
　　c=1/2(2x^1/2)
　　
　　
　　以上A，B，a，b，k可以是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)或等于1。
　　當(dāng)用實(shí)驗(yàn)方法求靈敏系數(shù)時(shí)，特別是在y與x_i之間不存在簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系時(shí)，可以通過將其余輸入量保持不變，僅變化第i個(gè)x_i，設(shè)變化量為△x_i，由此而導(dǎo)致的y的變化設(shè)為△y，則c_i=△y/△x_i。但也可通過函數(shù)關(guān)系計(jì)算出△y。
　　輸入量X_i的不確定度u(x_i)只有在乘了相應(yīng)的靈敏系數(shù)c_i之后，才是輸出量Y的不確定度u(y)的一個(gè)分量u_i(y)。它們也才會(huì)有相同的量綱。

　　7.5  在線性函數(shù)關(guān)系中輸入量的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_rel(x_i)是否可以也按方和根合成為輸出量Y的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_rel(y)？
    在輸入量X₁，X₂，…，X_N彼此獨(dú)立的情況下，如果它們與輸出量Y的函數(shù)關(guān)系是線性的，例如最簡(jiǎn)的一種情況:
    Y=X₁+X₂
若已知u_rel(x₁)與u_rel(x₂)，是不能按方和根計(jì)算Y的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_rel(y)的。例如:由兩個(gè)500g的砝碼相加，組成為輸出量1000g。每個(gè)500g砝碼的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x₁)=u(x₂)=0.5g，則這輸出量1000g的不確定度實(shí)際上u(y)===0.71g。對(duì)1000g來說，其相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為u_rel(y)=0.71g/1000g≈0.7×10^-3。但如果用相對(duì)不確定度來合成，u_rel(x₁)=u_rel(x₂)=0.5g/500g=1×10^-3，它們未合成前已大于u_rel(y)。顯然是不合理的。
    有些情況下，例如在化學(xué)分析中，在給定濃度下的某些不確定度的分量，這些分量的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度均是除以某個(gè)相同的分母，而輸出量的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度也是這同一個(gè)分母，這時(shí)是可以采用方和根來合成相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的。
    必須注意，盡管相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_rel(x_i)都無例外地是無量綱量，它們都用純數(shù)給出，但是這些純數(shù)并不都是無條件地可以相對(duì)減或是進(jìn)行方和根運(yùn)算的。因?yàn)檫@些數(shù)都是量值，而且往往是不同定義的量值。
    也往往在這種相互獨(dú)立的線性函數(shù)中，輸入量X₁與X₂按B類方法評(píng)定時(shí)，一開始就是給出的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_rel(x₁)和u_rel(x₂)，例如通過測(cè)量?jī)x器引用誤差評(píng)定的結(jié)果。那么，由于分母不同(輸出量與輸入量)，也是不能采用方和根得出輸出量的相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_crel(y)的。在這種情況下，必須先把u_rel(x₁)與u_rel(x₂)算成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x₁)與u(x₂)后再合成為u_c(y)；如這時(shí)要求給出u_crel(y)，即可將u_c(y)除以y。這是當(dāng)前極易被忽略的問題之一。
    7.6  當(dāng)輸入量X_i與輸出量Y之間的函數(shù)關(guān)系為Y=f(X₁，X₂，…，X_N)=……時(shí)，是否也應(yīng)按先算出靈敏系數(shù)c_i通過=[c_iu(x_i)]²=(y)合成？
    可以這樣合成，但不一定要如此復(fù)雜。采用這種方法需要麻煩的偏導(dǎo)數(shù)。更為簡(jiǎn)單的辦法是采用輸入量的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_rel(x_i)=u(x_i)/x_i>乘以其相應(yīng)的x_i的指數(shù)p_i，即p_iu(x_i)/x_i，進(jìn)行簡(jiǎn)單的平方和得到輸出量Y的相對(duì)合成方差，即
    

如果我們要求得到u_c(y)而不是u_-crel(y)，則可將得到的u_crel(y)乘以y即可。這是一種完全等效的計(jì)算方法。
    例如通過物體質(zhì)量m與其運(yùn)動(dòng)速度v的測(cè)量，求該物體的動(dòng)能E_k。它們之間的函數(shù)關(guān)系式(稱測(cè)量模型)是:
    E_k=(1/2)mv²
    設(shè)輸入量m的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u(m)=lg，而m的最佳估計(jì)為1kg，速度v的量佳估計(jì)為100m/s，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(v)=0.1m/s，求輸出量E_k的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(E_k)。這時(shí)，不必去求偏導(dǎo)數(shù)得出靈敏系數(shù)，而是求輸入量的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_rel(m)=u(m)/m=lg/1kg=1×10^-3，u_rel(v)=u(v)/v=(0.1m/s)/(100m/s)=1×10^-3，m的指數(shù)為1，v的指數(shù)為2，則=(1×10^-3)²+(2×1×10^-3)²=5×10^-6，故u_rel(E_k)≈2.2×10^-3
    而u(E_k)=2.2×10^-3×(1/2)×1kg×(100m/s)²
    =2.2×10^-3×0.5×10⁴kg·m²/s²
    =11kg·m²/s²=11J
    如果p_i，只是正1或負(fù)1，則在這一情況下:
    

    這就是說:在這種情況下估計(jì)值y的相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，等于輸入估計(jì)值x_i的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的方和根。舉例如下:
    設(shè)以鹽酸作為標(biāo)準(zhǔn)滴定溶液，用以測(cè)量某樣品中所含氫氧化鉀的質(zhì)量分?jǐn)?shù)W(KOH)，標(biāo)準(zhǔn)溶液的濃度c(HCl)=0.2(1±10^-3)mol/L(k=2)，則其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_rel[c(HCl)]=(1/2)×1×10^-3=0.5×10^-3。滴定終點(diǎn)消耗50mL，按所用的B級(jí)滴定管△=±0.6%(△為最大允許誤差)，由于通過兩次讀數(shù)之差得出，按正態(tài)分布考慮，取包含因子k=3，得消耗體積V的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_rel(V)=(1/3)×0.6%×=0.28×10^-2。氫氧化鉀的相對(duì)摩爾質(zhì)量來自國(guó)際1995年公布的相對(duì)原子質(zhì)量表，其不確定度大大小于10^-5，可忽略不計(jì)，其值M_r(KOH)=56.10024，在本例計(jì)算中可取近似為56.10，其修約導(dǎo)致的不確定度即可忽略。樣品質(zhì)量m=10g，按所用天平和砝碼的相對(duì)擴(kuò)展不確定度U_rel(m)=3×10^-4，包含因子k=3，得其相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u_rel(m)=1×10^-4。計(jì)算方程(測(cè)量模型)為:
    W(KOH)=f(V(HCl)，c(HCl)，M(KOH)，m)
        =(V(HCl)×c(HCl)×M(KOH))/m
代入輸出量的估計(jì)值得:
    W(KOH)=56.1×10^-3
其相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_rel[W(KOH)]，可按u_rel(V)，u_rel(c)，u_rel(m)按方和根得出為:
    u_rel[W(KOH)]=
    
    =0.29×10^-2
如要求給出u[W(KOH)]，則再乘以W(KOH)的估計(jì)值:
    56.1×10^-3×0.29×10^-2=17×10_-5
    本例所討論的計(jì)算方法，提供了不需求靈敏系數(shù)對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算。
    7.7  當(dāng)輸入量X_i之間出現(xiàn)了兩個(gè)或兩個(gè)以上的量x_i明顯相關(guān)時(shí)，是否可以不去計(jì)算協(xié)方差或是相關(guān)系數(shù)進(jìn)行合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算？
    在《JJF1059》中只提到協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的A類評(píng)定方法，將它與其他分量的方差相加進(jìn)行合成。實(shí)際工作中，特別是在計(jì)量學(xué)領(lǐng)域，采用A類評(píng)定是十分復(fù)雜的。我們可以按經(jīng)驗(yàn)，把輸入量x_i中強(qiáng)相關(guān)的那些分量(u(x_i)等也是由若干分量合成的，其中既有與其他輸入量強(qiáng)相關(guān)的分量，也有相互獨(dú)立的分量)，按強(qiáng)相關(guān)(r=+1)先行單獨(dú)合成作為輸出量不確定度u(y)的一個(gè)分量，然后把不相關(guān)的那些分量按彼此獨(dú)立合成為u(y)的第二個(gè)分量，最后將此兩分量按彼此獨(dú)立來進(jìn)行合成(參閱本講座6.18)。
    例如:在《JJF1059》合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c(y)的評(píng)定中，給過一個(gè)例子，當(dāng)標(biāo)稱值為1kΩ的10個(gè)電阻器，用1個(gè)值為R_s的標(biāo)準(zhǔn)電阻器校準(zhǔn)，設(shè)校準(zhǔn)過程中的不確定度遠(yuǎn)小于R_s的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(R_s)而忽略不計(jì)，校準(zhǔn)證書給出u(R_s)=0.10Ω?，F(xiàn)將此10個(gè)電阻器用電阻可忽略的導(dǎo)線串聯(lián)構(gòu)成一個(gè)10kΩ的參考電阻，其R_ref= f(R_i)=R_i(線性相加)?！禞JF1059》中給出的電阻器的相關(guān)系數(shù)為r(R_i，R_j)=1，并不可能是按A類評(píng)定的，因?yàn)椴淮嬖诙鄠€(gè)標(biāo)準(zhǔn)器分別對(duì)這10個(gè)電阻器進(jìn)行校準(zhǔn)。這里的r(R_i，R_j)是按經(jīng)驗(yàn)得出的。通過經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)兩個(gè)(或多個(gè))輸入量使用了同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)器或同一臺(tái)測(cè)量?jī)x器時(shí)，或使用了相同的參考數(shù)據(jù)，則它們之間存在極大的正相關(guān)。10個(gè)電阻器的校準(zhǔn)正是這種情況。在r=+1的情況下，
    即線性相加，因而，所構(gòu)成的10kΩ的R_ref的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度
    u_c(R_ref)=u(R_i)
    =10×0.10Ω=1.0Ω
    但是，如果校準(zhǔn)過程中帶來的不確定度并非可忽略不計(jì)，例如在對(duì)這10個(gè)中每個(gè)電阻器校準(zhǔn)過程中的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.5Ω，10個(gè)這樣的分量彼此獨(dú)立，大小也一樣，合成起來就是0.5Ω×=1.6Ω。它應(yīng)按方和根與前面相關(guān)部分合成的1.0Ω合成的u(R_ref)==1.9Ω。
    7.8  合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c(y)的自由度計(jì)算中應(yīng)注意什么問題？
    合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度稱為有效自由度，符號(hào)為v_eff輸出量估計(jì)值y不確定度的各個(gè)分量u_i(y)的自由度不論是采用A、B兩類中的何種方法評(píng)定出的，u_i(y)的自由度與u(x_i)的自由度相同。不因?yàn)?I>u(x_i)乘靈敏系數(shù)c_i之后而改變。計(jì)算式
    用于按u_i(y)計(jì)算的情況。如有相關(guān)項(xiàng)，協(xié)方差只出現(xiàn)在合成前u_c(y)的計(jì)算之中，在分母中不再出現(xiàn)。
    當(dāng)用相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u_rel(x_i)合成時(shí)，u_crel(y)的有效自由度只按下式計(jì)算:
    

式中，p_i為x_i的指數(shù)，參閱7.6。