計(jì)量培訓(xùn)：測(cè)量不確定度表述講座
國(guó)家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局　李慎安

　　6.1  什么叫不確定度的B類(lèi)評(píng)定？
　　測(cè)量不確定度的評(píng)定方法主要分成兩大類(lèi)。一類(lèi)是用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行評(píng)定，稱之為A類(lèi)評(píng)定(參閱1.2)，而其他的非統(tǒng)計(jì)方法，統(tǒng)稱之為B類(lèi)評(píng)定，又稱之為非統(tǒng)計(jì)方法的評(píng)定，由此評(píng)定出來(lái)的不確定度一般稱為B類(lèi)不確定度或稱為B類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度。要注意的是INC—1(1980)(參閱1.2)中以及《JJF1027》中都曾規(guī)定A類(lèi)不確定度分量用符號(hào)s_i，而B(niǎo)類(lèi)不確定度分量用符號(hào)u_j表示，這一方式在《導(dǎo)則》以及《JJF1059》中已作了更改，s只是實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的符號(hào)，當(dāng)它作為不確定度時(shí)，則不論是A類(lèi)還是B類(lèi)方法所得到，一律用u作為符號(hào)而只以數(shù)字序號(hào)作為下標(biāo)相區(qū)別，一般則寫(xiě)作u_i。從量值上說(shuō)s=u，但含義不同。
　　B類(lèi)不確定度只是其評(píng)定方法與A類(lèi)不同，如此而已。在合成過(guò)程以及對(duì)測(cè)量不確定度的貢獻(xiàn)中完全一樣，它們都以標(biāo)準(zhǔn)偏差給出，也都可以評(píng)定其自由度。

　　6.2  用于評(píng)定B類(lèi)不確定度的信息一般有哪一些？
　　由于B類(lèi)評(píng)定方法不是按統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行的，一般不需要對(duì)被測(cè)量在統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)下(或是重復(fù)性條件下或復(fù)現(xiàn)性條件下)進(jìn)行重復(fù)觀測(cè)，而是按現(xiàn)有信息加以評(píng)定。所用信息一般有:

　　(1)以前的觀測(cè)數(shù)據(jù)。
　　例如，對(duì)某一型號(hào)的測(cè)量?jī)x器的重復(fù)性(參閱《JJF1001—1998》第7.27條)按A類(lèi)評(píng)定方法，重復(fù)了20次觀測(cè)，得出了其單次示值的分散性，即重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)偏差s_r。由于這個(gè)s_r的自由度υ=20-1=19，一般來(lái)說(shuō)，也是充分可靠的了。所以，這個(gè)數(shù)據(jù)可以用作該測(cè)量?jī)x器進(jìn)行一次、或重復(fù)幾次測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)定信息。
　　但是，同一型號(hào)的某測(cè)量?jī)x器的重復(fù)性如果彼此并不一定接近，例如，有1/3或1/4左右的差，那么，如果我們對(duì)例如只有三臺(tái)這樣的測(cè)量?jī)x器，分別各進(jìn)行了20次觀測(cè)試驗(yàn)，并分別得出它們的重復(fù)性分別為s_r1=3.4，s_r2=2.4，s_r3=2.9。這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差可認(rèn)為充分可靠，而這樣的差別則是反映了儀器本身重復(fù)性的不同。這一現(xiàn)象，說(shuō)明不能用一臺(tái)儀器的s_r代替同類(lèi)型的其他儀器的s_r使用。如果，如上例，把這三個(gè)s_r取平均值=2.9，那么其標(biāo)準(zhǔn)偏差按貝塞爾公式
    自由度為2，因此，拿2.9作為其他同類(lèi)型測(cè)量?jī)x器的單次測(cè)量的分散性標(biāo)準(zhǔn)差也是不行的。這個(gè)例子說(shuō)明:對(duì)以前的觀測(cè)數(shù)據(jù)應(yīng)加以分析，看其是否可用于當(dāng)前的測(cè)量結(jié)果。

　　(2)對(duì)有關(guān)技術(shù)資料和測(cè)量?jī)x器特性的了解和經(jīng)驗(yàn)。
　　例如50 mm的量塊，其中心長(zhǎng)度最大允許示值誤差，對(duì)于零級(jí)來(lái)說(shuō)是±0.25μm，一級(jí)是±0.50μm、二級(jí)是±1.00μm。僅是這樣的信息是不夠的，還應(yīng)了解在二級(jí)量塊中是不會(huì)出現(xiàn)示值誤差在±0.50μm內(nèi)的量塊；同樣，在一級(jí)量塊中，也決不會(huì)出現(xiàn)示值誤差在±0.25μm內(nèi)的量塊。原因是在成批生產(chǎn)出同一標(biāo)稱尺寸的量塊后，按最大允許示值誤差把±0.25μm者作為零級(jí)挑出，把從±0.26μm至±0.50μm者挑出作為一級(jí)，如此類(lèi)推。因而雖然有最大允許示值誤差的信息，按上述特性，只是接近兩點(diǎn)分布，有了這一信息，就可以評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度了。

　　(3)生產(chǎn)部門(mén)提供的技術(shù)說(shuō)明文件
　　例如對(duì)某些裝備了玻璃短標(biāo)尺的測(cè)長(zhǎng)光學(xué)儀器，一般，生產(chǎn)廠是給出了該尺的線膨脹系數(shù)的，我們就可以依據(jù)它對(duì)由于溫度測(cè)量導(dǎo)致的不確定度進(jìn)行評(píng)定。

　　(4)校準(zhǔn)證書(shū)、檢定證書(shū)或其他文件提供的數(shù)據(jù)、準(zhǔn)確度的等別或級(jí)別，包括目前還暫在使用的極限誤差等。
　　校準(zhǔn)是指在規(guī)定條件下，為確定測(cè)量?jī)x器或測(cè)量系統(tǒng)所指示的量值，或?qū)嵨锪烤呋騾⒖嘉镔|(zhì)所代表的量值，與對(duì)應(yīng)的由標(biāo)準(zhǔn)所復(fù)現(xiàn)的量值之間關(guān)系的一組操作。簡(jiǎn)而言之，即為確定測(cè)量?jī)x器示值誤差的一組操作，或給出示值的一組操作。例如對(duì)標(biāo)準(zhǔn)硬度塊的定度，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)砝碼、量塊、標(biāo)準(zhǔn)電池的賦值等。當(dāng)然，在校準(zhǔn)證書(shū)中必定要給出其校準(zhǔn)結(jié)果的不確定度，甚至還要給出其自由度。給出該測(cè)量?jī)x器所屬的等別(order)或(和)級(jí)別(class)，這些都是據(jù)以評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度的極為常見(jiàn)的信息。
　　至于極限誤差，目前還在JJG2009《射頻與微波功率計(jì)量器具檢定系統(tǒng)》、JJG2010《射頻與微波衰減計(jì)量器具檢定系統(tǒng)》、JJG2016《粘度計(jì)量器具檢定系統(tǒng)》、JJG2027《磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)量器具檢定系統(tǒng)》等為數(shù)尚不少的技術(shù)規(guī)范中使用，這是我國(guó)50年代以來(lái)的作法，由于對(duì)極限誤差的評(píng)定缺乏統(tǒng)一的規(guī)范，導(dǎo)致其含義不確切。當(dāng)前不應(yīng)再使用這一概念來(lái)表述測(cè)量結(jié)果，但對(duì)早已存在的規(guī)范，未修訂以前，還應(yīng)可以作為評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度的依據(jù)。

　　(5)手冊(cè)或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定度。
　　例如手冊(cè)上給出的基本物理常量、阿伏加德羅常數(shù)L=(6.022 136 7±0.000 003 6)×10²³ mol^-1，并聲明±號(hào)后之值為標(biāo)準(zhǔn)偏差，其自由度為17。
    又如國(guó)際上1992年公布的相對(duì)原子質(zhì)量。例如對(duì)于碳原子A_r(C)=12.011(1)，括弧中的1表示相對(duì)原子質(zhì)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.001?？上У氖菦](méi)有指明不確定度的自由度。但這可用于對(duì)不確度分量的評(píng)定。

　　(6)技術(shù)規(guī)范中對(duì)某些測(cè)量方法所規(guī)定的重復(fù)性限r或復(fù)現(xiàn)性限R。
　　在一些檢測(cè)方法的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)或其他技術(shù)規(guī)范中給出的r或R一方面用于查明實(shí)驗(yàn)過(guò)程是否處于所規(guī)定的狀態(tài)，是否出現(xiàn)過(guò)大的誤差，另一方面，說(shuō)明了這一方法的不確定度。
　　B類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(q_i)的二次方，可簡(jiǎn)稱為B類(lèi)方差。

　　6.3  當(dāng)已知擴(kuò)展不確定度U及包含因子k時(shí)，如何評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度？
　　例如當(dāng)前對(duì)圓錐量規(guī)、錐度儀器、熱電偶、維氏硬度計(jì)、色溫度儀器、發(fā)光強(qiáng)度計(jì)、核素活度計(jì)等類(lèi)，在其檢定系統(tǒng)中均明確規(guī)定校準(zhǔn)結(jié)果要按k=3給出擴(kuò)展不確定度U。而例如超聲功率計(jì)、橡膠硬度計(jì)、黑白密度計(jì)等，采用k=2給出擴(kuò)展不確定度U。在這些情況下，只要用U除以k即可得出標(biāo)準(zhǔn)不確定度。例如:某交流數(shù)字電流表，流量上限為10A，相對(duì)擴(kuò)展不確定度為5×10^-4，k=3，則其相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_rel=5×10^-4/3=1.7×10^-4。

　　6.4  如果檢定、校準(zhǔn)證書(shū)上給出總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的倍數(shù)時(shí)，如何評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)偏差？
　　當(dāng)前還有不少測(cè)量?jī)x器仍沿用50年代以來(lái)的習(xí)慣，用總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ及其倍數(shù)表示校準(zhǔn)結(jié)果的可靠程度。例如:真空測(cè)量?jī)x器、燃燒熱測(cè)量?jī)x器、電導(dǎo)流量?jī)x器、水流量測(cè)量?jī)x器、某些壓力測(cè)量?jī)x器等。本來(lái)σ只是一種理想概念，在計(jì)量學(xué)中的總體指重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行了無(wú)限多次的重復(fù)觀測(cè)，通過(guò)這無(wú)限多個(gè)觀測(cè)結(jié)果按下式:
　　計(jì)算出來(lái)的，式中μ為對(duì)被測(cè)量Q進(jìn)行無(wú)限多次的算術(shù)平均值，稱為總體均值，N是重復(fù)觀測(cè)次數(shù)，為無(wú)限大。由于實(shí)際測(cè)量中的重復(fù)次數(shù)n是極為有限的，按貝塞爾公式算出的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s只是σ的一個(gè)估計(jì)，應(yīng)該說(shuō)，把s等同于σ是不合理的，s本身還有不確定度，而σ的不確定度為零。但是，現(xiàn)在在一些測(cè)量?jī)x器既已用了σ的情況下，我們?cè)谠u(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)，可以把σ直接作為標(biāo)準(zhǔn)不確定度u處理，即從量值上說(shuō)σ=u。又如，射頻與微波功率計(jì)、脈沖參數(shù)計(jì)量?jī)x器、真空測(cè)量?jī)x器等，它們用3σ給出時(shí)，采用其三分之一即獲得標(biāo)準(zhǔn)不確定度。對(duì)于那些燃燒熱、氣體流量、石油螺紋測(cè)量?jī)x器等，它們用2σ給出時(shí)，采用其一半即獲得相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)不確定度。
　　對(duì)于例如液體閃爍放射性活度測(cè)量?jī)x器、質(zhì)量測(cè)量?jī)x器等，給出置信概率為99.73%的情況下，由于原假設(shè)為理想的正態(tài)分布，而且所得到的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度又十分可靠，在這一情況下給出了上述置信概率，盡管從實(shí)際上說(shuō)不十分合理，雖原為3σ的含義在進(jìn)行不確定度評(píng)定時(shí)，可按U₉₉處理，即除以2.6，但也未必不可以除3，前者偏保守即稍可靠一些。作這種評(píng)定時(shí)，自由度可估計(jì)大一些，而用除以3來(lái)評(píng)定u時(shí)，自由度就不能估計(jì)得太大。

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　　6.5  已知U_p的情況下，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定如何？
　　從現(xiàn)在起，將會(huì)越來(lái)越多地在校準(zhǔn)證書(shū)上給出校準(zhǔn)結(jié)果的擴(kuò)展不確定度U₉₅，或U₉₉，這樣就十分明確地交代了置信概率p的大小。如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，一般總按正態(tài)分布考慮，并據(jù)以評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。在正態(tài)分布情況下，置信概率p與包含因子k_p之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為:
　　p=0.90    k_p=1.64；
　　p=0.95    k_p=1.96；
　　p=0.99    k_p=2.58。
　　例如肖氏硬度計(jì)用U₉₅，而(273.15～903.15)K溫度計(jì)用U₉₉。顯然，如給出的是U₉₅，則u=U₉₅/1.96，如給出的是U₉₉，則u=U₉₉/2.58。

　　6.6  如果校準(zhǔn)證書(shū)上既給出了U_p，又給出了其自由度υ，應(yīng)如何評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u？
　　在《JJF1059》中，推薦在給出擴(kuò)展不確定度U₉₉或U₉₅時(shí)，同時(shí)給出其自由度。當(dāng)這些信息已在校準(zhǔn)證書(shū)中給出后，使用者不僅可以更有把握地給出標(biāo)準(zhǔn)不確定度u，而且這個(gè)u之值會(huì)比6.5所評(píng)定出的要小一些，對(duì)不確定度評(píng)定是有利的。
　　當(dāng)有了自由度υ以后，可以按以下t值在表格中查出k_p=t_p(υ)這個(gè)值。例如:已知的自由度υ=10，采用的置信概率p=0.99，表中給出k_p=3.17，這個(gè)值比上述6.5中的2.58大了不少，約五分之一。這樣，通過(guò)U_p/k_p所得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度就會(huì)比用k=2.58除得出的值要小約五分之一。油水不少!

　　6.7  當(dāng)已知量X之值x分散區(qū)間的半寬為a，且x落在x-a至x+a區(qū)間的概率p為100%，即全部落在此范圍內(nèi)，如何評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x)？
　　在x±a內(nèi)包含了X的全部可能值。a處于x的兩側(cè)，而且，x處于已知區(qū)間x-a至x+a的中央。拿a作為擴(kuò)展不確定度U(k=3)或是U₉₉未必不可以，只是不太確切，也不很可靠。p=100%可認(rèn)為接近99%，而k=3則不一定確切。在這一情況下要評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x)時(shí)，與X可能值的分布類(lèi)型關(guān)系很大，因而必須對(duì)其分布作出一個(gè)近似的估計(jì)，需要有一定的經(jīng)驗(yàn)。分布的情況與包含因子k的關(guān)系是:越接近(向正態(tài)分布趨近)正態(tài)分布，k值越大。從兩點(diǎn)分布到正態(tài)分布，k值由1增加到3。
　　接近正態(tài)分布:  k=3    

　　三角分布:  k=≈2.45
　　梯形分布:  k=2
　　矩形分布:  k=≈1.73
　　反正弦分布:k=≈1.41
　　兩點(diǎn)分布:  k=1
　　以上梯形分布指其上底與下底之比β=0.71的較為多見(jiàn)的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)。當(dāng)包含因子k增大，評(píng)定出的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x)=a/k就減小。
　　分散區(qū)間的半寬a可以理解為可能出現(xiàn)的誤差極限值之模。即絕對(duì)值最大的誤差，一般用誤差限這個(gè)概念。但表述為誤差限時(shí)，帶有正負(fù)號(hào)(±)，例如測(cè)量?jī)x器的最大允許誤差。
　　一般用a_-，表示小于x的那個(gè)下界，而用a₊表示大于x的那個(gè)上界，或稱為x的下限、上限值。

　　6.8  如何對(duì)分散區(qū)間x-a至x+a范圍內(nèi)，x可能值的分布類(lèi)別進(jìn)行估計(jì)？
　　如果測(cè)量結(jié)果x是幾個(gè)觀測(cè)值的平均值(例如三個(gè)以上)(經(jīng)常用算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果)，則其分布必定是正態(tài)的。如果被測(cè)量Y是由兩三個(gè)以上的分量按線性合成時(shí)(例如相加)，而這些分量彼此的大小又比較接近，則y的分布是接近正態(tài)的，如果Y是由兩個(gè)分量線性合成，而這兩個(gè)分量接近，且是三角分布，則y的分布也會(huì)是正態(tài)的。自由度的大小與分布無(wú)關(guān)，不能作為考慮分布的依據(jù)。
　　在缺乏任何其他信息的情況下，一般估計(jì)為矩形分布(均勻分布)。但如果已知Y的可能值出現(xiàn)在a_-至a₊中心附近的可能性大于接近區(qū)間邊界時(shí)，則可按三角分布評(píng)定u(y)。
　　以下給出幾種分布類(lèi)別的情況:

　　(1)正態(tài)分布
　　a)重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性條件下多次測(cè)量的算術(shù)平均值或加權(quán)平均值的分布；
　　b)被測(cè)量Y在校準(zhǔn)證書(shū)中用擴(kuò)展不確定度U_p給出，而對(duì)其分布又沒(méi)有特殊說(shuō)明時(shí)，估計(jì)值y的分布；
　　c)在被測(cè)量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c(y)中，相互獨(dú)立的分量u_i(y)較多，它們之間的大小也比較接近時(shí)，y的分布；
　　d)在被測(cè)量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c(y)中，相互獨(dú)立的分量u_i(y)中，存在兩個(gè)界限值接近的三角分布，或4個(gè)界限值接近的均勻分布時(shí)；
　　e)被測(cè)量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c(y)的相互獨(dú)立的分量中，量值最大的分量(起決定作用的分量)接近正態(tài)分布時(shí)。

　　(2)矩形(均勻)分布
　　a)數(shù)據(jù)修約導(dǎo)致的不確定度；
　　b)數(shù)字式測(cè)量?jī)x器分辨力導(dǎo)致的不確定度；
　　c)測(cè)量?jī)x器由于滯后、磨擦效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度；
　　d)按級(jí)使用的數(shù)字式儀表、測(cè)量?jī)x器最大允許誤差導(dǎo)致的不確定度；
　　e)用上、下界給出的線膨脹系數(shù)；
　　f)測(cè)量?jī)x器度盤(pán)或齒輪回差引起的不確定度；
　　g)平衡指示器調(diào)零不準(zhǔn)導(dǎo)致的不確定度。

　　(3)三角分布
　　a)相同修約間隔給出的兩獨(dú)立量之和或差，由修約導(dǎo)致的不確定度；
　　b)因分辨力引起的兩次測(cè)量結(jié)果之和或差的不確定度；
　　c)用替代法檢定標(biāo)準(zhǔn)電子元件或測(cè)量衰減時(shí)，調(diào)零不準(zhǔn)導(dǎo)致的不確定度；
　　d)兩相同均勻分布的合成。

　　(4)反正弦分布(U形分布)
　　a)度盤(pán)偏心引起的測(cè)角不確定度；
　　b)正弦振動(dòng)引起的位移不確定度；
　　c)無(wú)線電中失配引起的不確定度；
　　d)隨時(shí)間正余弦變化的溫度不確定度。

　　(5)兩點(diǎn)分布
　　例如，按級(jí)使用量塊時(shí)，中心長(zhǎng)度偏差導(dǎo)致的概率分布。

　　(6)投影分布
　　a)當(dāng)Y_i受到1—cosα(角α服從均勻分布)影響時(shí)，y_i的概率分布；
　　b)安裝或調(diào)整測(cè)量?jī)x器的水平或垂直狀態(tài)導(dǎo)致的不確定度。

　　(7)無(wú)法估計(jì)的分布
　　大多數(shù)測(cè)量?jī)x器，對(duì)同一被測(cè)量多次重復(fù)測(cè)量，單次測(cè)量示值的分布一般不是正態(tài)分布，往往偏離甚遠(yuǎn)。如軸尖支承式儀表示值分布，介于正態(tài)分布與均勻分布之間，數(shù)字電壓表示值分布呈雙峰狀態(tài)，磁電系儀表的示值分布與正態(tài)分布相差甚遠(yuǎn)。

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　　6.9  當(dāng)被測(cè)量X的最佳估計(jì)值x并不處于其可能值分散區(qū)間2a，即(a₊-a_-)的中點(diǎn)時(shí)，如何評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x)？
　　這時(shí)，由于x不處于a_-至a₊的中心，X可能值分布在此兩區(qū)間內(nèi)的概率是不一定相等的，也一般不會(huì)是對(duì)稱的，在缺乏用于可靠判斷其分布狀態(tài)的信息時(shí)，按矩形分布處理，可近似地采用:
　　上式中的b₊，b_-為:
　　b_-=x-a_-
　　b₊=a₊-x
　　且b_-≠b₊
　　計(jì)算式中的分母為(2)²，2是取分散區(qū)間的一半，是按矩形分布給出的包含因子k。
    有時(shí)也可以對(duì)這類(lèi)不對(duì)稱的界限采用修正的方法，即對(duì)最佳估計(jì)x加以修正，修正值的大小為(b₊-b_-)/2，在修正后，x就處于分散區(qū)間的中心x=(a_-+a₊)/2，而其半寬a=(a₊-a_-)/2。即可按6.7所述方式評(píng)定u(x)。

　　6.10  測(cè)量?jī)x器分辨力導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度如何評(píng)定？
　　分辨力是顯示裝置分辨力的簡(jiǎn)稱。按《JJF1001》定義為:顯示裝置能有效辨別的最小示值差。對(duì)于數(shù)字式顯示裝置，即變化末位一個(gè)有效數(shù)字時(shí)，其示值的變化，所謂步進(jìn)量。
　　分辨力導(dǎo)致的示值誤差限為±0.5個(gè)步進(jìn)量。即其分散區(qū)間的半寬a為0.5×步進(jìn)量。由于被測(cè)量可能值出現(xiàn)在這一分散區(qū)間之內(nèi)的任一點(diǎn)的概率相等，應(yīng)估計(jì)其分布類(lèi)型為矩形。設(shè)分辨力為δx(按《JJF1059》給出的符號(hào))，則由此而帶來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.5×δx/≈0.29δx。

　　6.11  對(duì)量值修約所導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度如何評(píng)定？
　　對(duì)一個(gè)量值修約以后，必定帶來(lái)修約誤差，修約誤差等于修約后的值減修約前的值。例如:100.046 50 g修約成為100.046 g，即保留到1mg的水平，其修約誤差為100.046 50 g-100.046 g=0.0005g=+0.5mg。修約誤差既可為正也可為負(fù)值。如把100.045 50 g修約到小數(shù)點(diǎn)后第3位，按一段修約規(guī)則，也得到修約后之值為100.046g，這時(shí)的修約誤差為-0.5mg。我們從一個(gè)已修約后的值無(wú)法看出它在修約前是多大。但是，可以判斷其修約誤差限。從而修約所帶來(lái)的誤差限等于半個(gè)修約間隔。所謂修約間隔，在國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB8170—1987《數(shù)值修約規(guī)則》中，定義為修約值的最小單位。也就是說(shuō)，修約后之值只能是其整數(shù)倍。因此，上例中給出的100.046g，其修約間隔為0.001g即1mg。對(duì)于一個(gè)已修約的值，如果不是0.5和0.2修約間隔(這種情況極少使用)，其修約間隔必定是這個(gè)數(shù)值的末位為1的值。例如:73.684mm，其修約間隔為0.001mm；73.6845mm的修約間隔為0.0001mm。
　　修約導(dǎo)致修約誤差。對(duì)于一個(gè)已修約之值，我們雖不知道修約前之值，根據(jù)其最大不超過(guò)半個(gè)修約間隔及均勻分布的估計(jì)，修約導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)偏差不超過(guò):0.5×半個(gè)修約間隔/≈0.29修約間隔。當(dāng)從某種資料查到的近似值沒(méi)有任何其他信息用以評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)，按該數(shù)據(jù)給出的值到了哪一位，進(jìn)行修約不確定度的評(píng)定往往是唯一的辦法。

　　6.12  按重復(fù)性限r與復(fù)限性限R如何評(píng)定該條件下的重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)偏差s_r和復(fù)現(xiàn)性標(biāo)準(zhǔn)偏差r_R？
　　按現(xiàn)行國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO5725—1994《測(cè)量方法與測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度》給出的重復(fù)性限r和復(fù)限性限R的定義是，在重復(fù)性條件下或復(fù)現(xiàn)性條件下，兩次測(cè)量結(jié)果之間的差，以95%的置信概率，不致超過(guò)的值。當(dāng)制定了某種測(cè)量程序和條件之后，在這一條件下的測(cè)量結(jié)果間的分散性、重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)偏差或復(fù)現(xiàn)性標(biāo)準(zhǔn)偏差，是可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)按統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的，得到的結(jié)果就是s_r或s_R。如果自由度充分大(例如超過(guò)20)，而且在重復(fù)測(cè)量結(jié)果的分布又接近正態(tài)的前提下，s_r與r之間以及s_R與R之間有:
　　r=2.8s_r
　　R=2.8s_R
　　當(dāng)在有關(guān)技術(shù)規(guī)范中給出了r或R時(shí)，按上述關(guān)系可以計(jì)算出s_r或s_R作為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

　　6.13  按校準(zhǔn)證書(shū)已知某測(cè)量?jī)x器的等別時(shí)，如何評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度？
　　對(duì)于那些分等的測(cè)量?jī)x器，在其校準(zhǔn)證書(shū)中，一般均給出了被校準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器屬于哪個(gè)等，而往往不再給出校準(zhǔn)結(jié)果的不確定度。等是按校準(zhǔn)結(jié)果不確定度大小劃分的一種檔次，例如量塊、活塞壓力計(jì)、標(biāo)準(zhǔn)電池等。給出了等別，實(shí)質(zhì)上就相當(dāng)于說(shuō)明了其不確定度不超過(guò)某個(gè)限值。例如對(duì)于50mm的量塊，二等的不確定度不大于0.09μm(p=0.99)，有了這一信息后就可以按6.5進(jìn)行評(píng)定，只不過(guò)往往在校準(zhǔn)證書(shū)上只給等別而不給出相應(yīng)的U和U_p。這時(shí)，就得查有關(guān)的檢定系統(tǒng)或檢定規(guī)程了。

　　6.14  按校準(zhǔn)證書(shū)已知被檢測(cè)儀器的級(jí)別時(shí)，如何評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)偏差？
　　級(jí)的概念是按測(cè)量?jī)x器(包括實(shí)物量具)示值誤差劃分的檔次(包括相對(duì)誤差)。因此，明確了級(jí)別，實(shí)質(zhì)上也就是說(shuō)明了其示值誤差不致超出的界限(上下界)。例如:50mm的二級(jí)量塊，其中的長(zhǎng)度偏差(最大允許誤差)限為±1μm。如果我們是按其中心長(zhǎng)度的標(biāo)稱值來(lái)使用這個(gè)量塊，所導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度就只能按±1μm這一信息，再加上它是兩點(diǎn)分布(參閱6.8)，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為1μm(注意這時(shí)不再用正負(fù)號(hào))。級(jí)別所對(duì)應(yīng)的誤差限往往也需另查資料。
　　有時(shí)，級(jí)別是按引用誤差(相對(duì)示值誤差的一種)之?dāng)?shù)值給出的。例如證書(shū)上給出符合1.5級(jí)壓力表，這個(gè)級(jí)別的引用誤差是1.5%，并非測(cè)量不確定度。引用誤差的方便之處在于，對(duì)于不少指針式測(cè)量?jī)x器來(lái)說(shuō)，特別是多量限的測(cè)量?jī)x器，不論是在量限內(nèi)的哪一點(diǎn)上，其引用誤差都是同一個(gè)值。在不確定度評(píng)定中，可據(jù)以將它作為示值誤差分散區(qū)間的半寬(相對(duì)值)，再按6.7所述評(píng)定。

　　6.15  什么情況下，B類(lèi)評(píng)定方法所得出的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度可估計(jì)為無(wú)限大？
　　自由度是用于說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)不確定度的可靠性的，越可靠，自由度越大。因此，當(dāng)我們用非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定出的結(jié)果十分可靠時(shí)，就可估計(jì)其自由度為無(wú)限大，例如:
　　(a)校準(zhǔn)證書(shū)上給出了校準(zhǔn)結(jié)果的擴(kuò)展不確定度U或U_p，該標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器穩(wěn)定性極好或校準(zhǔn)時(shí)間并不太長(zhǎng)，保存條件也較理想，其值不致有明顯變化。
　　(b)按測(cè)量?jī)x器的最大允許誤差或級(jí)別所評(píng)定出的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。
　　(c)按測(cè)量?jī)x器的等別的不確定度檔次界限所作出的評(píng)定。
　　(d)按測(cè)量?jī)x器引用誤差或其相應(yīng)級(jí)別作出的評(píng)定。

　　6.16  符號(hào)Δu(x_i)指什么？
　　在《GUM》以及《JJF1059》中均用了這一符號(hào)，但未明確其含義，u(x_i)是被測(cè)量Xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，這是上述文件均已明確的。加了一個(gè)Δ，則表示u(x_i)的誤差限，但是用標(biāo)準(zhǔn)偏差給出的值。這里，Δ這個(gè)符號(hào)用得不太標(biāo)準(zhǔn)。Δu(x_i)可以認(rèn)為是指u(x_i)的不確定度，即不確定度的不確定度，或標(biāo)準(zhǔn)偏差的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

　　6.17  符號(hào)Δu(x_i)/u(x_i)或σ[u(x_i)]/u(x_i)的含義如何？為什么用它來(lái)評(píng)定B類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度？
　　Δu(x_i)的含義已如6.16所述，σ[u(x_i)]的含義是用了總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ來(lái)代替Δ，指可靠的標(biāo)準(zhǔn)偏差之值。
　　不管對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差的評(píng)定方法如何，A類(lèi)還是B類(lèi)，所得出的標(biāo)準(zhǔn)偏差均存在一個(gè)可靠性如何的問(wèn)題。
　　基于通過(guò)重復(fù)測(cè)量的統(tǒng)計(jì)方法不一定就比非統(tǒng)計(jì)方法好，就平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差s()而言，它是正態(tài)分布隨機(jī)變量q的n次獨(dú)立觀測(cè)值平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。量s()是個(gè)統(tǒng)計(jì)量，它是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ()的估計(jì)，σ()是的概率分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即是無(wú)限多次重復(fù)觀測(cè)得到的值分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差。s()的方差σ²[s()]近似地為:
　　σ²[s()]≈σ²()/2υ
　　其中，υ=n-1是s()的自由度。因此，可以取s()的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差σ[s()]/σ()作為s()的相對(duì)不確定度的度量，它近似地等于[2(n-1)]^-2。這是的不確定度的不確定度，完全由于有限次數(shù)n不夠大而引起。例如在n=10時(shí)，它等于約24%。而在非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)偏差中，根據(jù)自由度的定義，當(dāng)自由度υ在t分布出現(xiàn)時(shí)，它是方差s²()的不確定度的度量，有
　　方括號(hào)中給出的是u(q)的相對(duì)不確定度，對(duì)B類(lèi)評(píng)定而言，它是個(gè)主觀量，其值是按可利用的信息判斷的。
　　例如:考慮到輸入估計(jì)值x_i及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x_i)的信息，判斷u(x_i)的值大約不可靠到25%，就意味其相對(duì)不確定度△u(x_i)/u(x_i)=25%，代入上式，得υ_i=(0.25)^-2/2=8。如果判斷u(x_i)之值大約只有50%可靠，也就是50%不可靠。代入上式，算出υ_i=2，實(shí)際工作中，一般只估計(jì)出其不可靠的百分?jǐn)?shù)，查下表即可:
    

　　當(dāng)前，有些文獻(xiàn)把“可靠”與“不可靠”的含義弄混淆了，例如:“自由度由于標(biāo)準(zhǔn)不確定度有25%可靠，υ=8”。顯然，這個(gè)25%應(yīng)是“不可靠”而非“可靠”。此外，這里所用“可靠”一詞，只是一個(gè)通俗的概念。

　　6.18  相關(guān)系數(shù)r是否可以進(jìn)行B類(lèi)評(píng)定？
　　在計(jì)量學(xué)領(lǐng)域中的極大多數(shù)情況下，相關(guān)系數(shù)r的評(píng)定并非通過(guò)A類(lèi)方法進(jìn)行而是通過(guò)B類(lèi)方法進(jìn)行的。例如:用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)砝碼來(lái)校準(zhǔn)若干個(gè)標(biāo)稱值相同的工作用砝碼，然后用這些工作砝碼去校準(zhǔn)大秤量的衡器時(shí)，這些工作砝碼的標(biāo)準(zhǔn)不確定度雖然都相等，但存在很大的相關(guān)性。用同一標(biāo)電阻器校準(zhǔn)若干個(gè)標(biāo)稱值相同的電阻器，將它們串聯(lián)起來(lái)用于較大電阻的檢定時(shí)也同樣如此。
　　以上兩例情況基本相同。檢出的電阻器校準(zhǔn)值的不確定度基本由兩個(gè)分量構(gòu)成，一是標(biāo)準(zhǔn)電阻器的不確定度，二是校準(zhǔn)過(guò)程中引入的不確定度。前者，按經(jīng)驗(yàn)是正強(qiáng)相關(guān)，r₁=1，但后者按經(jīng)驗(yàn)，彼此獨(dú)立，不相關(guān)，r₂=0，這種評(píng)定屬于B類(lèi)方法。例如:10個(gè)被校電阻器串聯(lián)，則可將它們串聯(lián)后電阻值的不確定度也分成兩部分，把強(qiáng)相關(guān)的r₁=1的哪一部分先合成，即取10倍的標(biāo)準(zhǔn)電阻不確定度，相互獨(dú)立的第二部分另行合成(方和根)，實(shí)際為倍的一次校準(zhǔn)不確定度。有關(guān)合成問(wèn)題將在本講座后面有關(guān)部分詳述。