計(jì)量培訓(xùn)：測(cè)量不確定度表述講座
國(guó)家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局  李慎安

　　5.1  A類(lèi)評(píng)定的基本方法是什么？
　　用統(tǒng)計(jì)方法(參閱4.1)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度稱(chēng)為不確定度的A類(lèi)評(píng)定，所得出的不確定度稱(chēng)為A類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度，簡(jiǎn)稱(chēng)A類(lèi)不確定度。當(dāng)它作為一個(gè)分量時(shí)，無(wú)例外地只用標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。
　　標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類(lèi)評(píng)定的基本方法是采用貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差s的方法。
　　一個(gè)被測(cè)量Q(既可以是輸入量中的一個(gè)，也可以是輸出量或被測(cè)量)在重復(fù)性條件下或復(fù)現(xiàn)性條件下重復(fù)測(cè)量了n次，得到n個(gè)觀測(cè)結(jié)果q₁，q₂，…，q_n，那么，Q的最佳估計(jì)即是這n個(gè)觀測(cè)值的算術(shù)平均值:
　　 由于n只是有限的次數(shù)，故又稱(chēng)為樣本平均值，它只是無(wú)限多次(總體)平均值的一個(gè)估計(jì)。n越大，這個(gè)估計(jì)越可靠。
　　每次的測(cè)量結(jié)果q_i減稱(chēng)為殘差v_i，v_i=(q_i-)，因此有n個(gè)殘差。
　　殘差的平方和除以n-1就是實(shí)驗(yàn)方差s²(q_i)，即一次測(cè)量結(jié)果的實(shí)驗(yàn)方差，其正平方根即為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s(q_i)，當(dāng)用它來(lái)表述一次測(cè)量結(jié)果的不確定度u(q_i)時(shí)，有s(q)=u(q_i)，或簡(jiǎn)寫(xiě)成s=u。
　　請(qǐng)注意，今后不再把s作為A類(lèi)不確定度的符號(hào)，把u作為B類(lèi)不確定度的符號(hào)，而是不分哪一類(lèi)，標(biāo)準(zhǔn)不確定度均用u表示。
　　上述的計(jì)算程序就是3.1給出的程序。
　　平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差s()或其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u()為:
　　 必須注意上式中的n指所用的次數(shù)。在實(shí)際工作中，為了得到一個(gè)較為可靠的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(q_i)，往往作較多次的重復(fù)測(cè)量(n較大，自由度ν也較大)；但在給出被測(cè)量Q_i測(cè)量結(jié)果q時(shí)，只用了較少的重復(fù)觀測(cè)次數(shù)(例如往往只有4次)。那么，4次的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差就是s(q_i)/4=0.5×s(q_i)
　　但是，如果用于評(píng)定s(q_i)時(shí)的n個(gè)觀測(cè)值，直接用于評(píng)定s()(n個(gè)的平均)，則成為下式:
    

　　5.2  除基本方法外還有哪些簡(jiǎn)化的方法？用于何種場(chǎng)合？
　　在JJF1059中提出了另外的一種簡(jiǎn)化方法，稱(chēng)之為極差法，極差R定義為一個(gè)測(cè)量列中，最大的測(cè)量結(jié)果減最小測(cè)量結(jié)果所得之差。所謂測(cè)量列，是指重復(fù)性條件下或復(fù)現(xiàn)性條件下的若干測(cè)量結(jié)果這一整體。
　　使用極差法評(píng)定s(q_i)的前提是q_i的分布應(yīng)是正態(tài)的。對(duì)于大多數(shù)測(cè)量?jī)x器來(lái)說(shuō)，單次測(cè)量的示值，其分布往往偏離正態(tài)甚遠(yuǎn)，例如軸尖支承式儀器的示值介于正態(tài)與均勻分布之間，數(shù)字電壓表的示值分布一般呈雙峰狀態(tài)等。但是所有q_i如果已是3或4個(gè)示值之平均值，則可以認(rèn)為其分布是正態(tài)的了。
　　在得到了極差R之后，根據(jù)這個(gè)測(cè)量列中包含的q_i的多少(即測(cè)量次數(shù)n)，除以一個(gè)相應(yīng)的系數(shù)C就可得出單個(gè)q_i的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(q_i)了，即s(q_i)=R/C=u(q_i)。
　　當(dāng)n=4時(shí)，C=2.06≈2；
　　當(dāng)n=9時(shí)，C=2.97≈3；
　　當(dāng)n=15時(shí)，C=3.47≈3.5。
　　必須注意，上述三種情況下的自由度ν分別只為2.7，6.8與10.5，比用貝塞爾公式所計(jì)算出來(lái)的結(jié)果自由度小，因此，可靠性也較差，一般在n較小時(shí)使用較好。

　　5.3  什么叫合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_p？一般有哪幾種求s_p的方法？
　　合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_p這一符號(hào)的下標(biāo)正體小寫(xiě)p，來(lái)源于英文pooled一詞，表示并非來(lái)自一個(gè)被測(cè)量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，但s_p所給出的則仍為這一條件下單次測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差。s_p是根據(jù)多個(gè)被測(cè)量在重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性條件下重復(fù)觀測(cè)所得測(cè)量結(jié)果，按統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算出的一次測(cè)量結(jié)果的分散性標(biāo)準(zhǔn)偏差，一般只用于常規(guī)的規(guī)范化的測(cè)量之中。例如:按檢定規(guī)程進(jìn)行的校準(zhǔn)工作，車(chē)間中的在線抽檢，某種產(chǎn)品中成分的抽樣化驗(yàn)等。采用s_p的前提是:檢測(cè)方法不變；整個(gè)過(guò)程處于正常情況，被測(cè)量值的大小變化對(duì)分散性不起主要作用。由于s_p的自由度一般可以比較容易地達(dá)到20以上，認(rèn)為是相當(dāng)可靠的，一般把它保留下來(lái)作為一種技術(shù)檔案而用于今后的相同條件下測(cè)量結(jié)果(往往只重復(fù)二、三次，甚至不重復(fù))不確定度的評(píng)定。
　　例如某種測(cè)量一般進(jìn)行4次觀測(cè)，取算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果報(bào)出。這種規(guī)范化的測(cè)量如對(duì)10個(gè)被測(cè)量進(jìn)行過(guò)了，則可以通過(guò)這10次的記錄，每一次可算出4個(gè)殘差v_i，一共可算出40個(gè)殘差v_i。所有這些殘差的平方和除以10×(4-1)=30后開(kāi)方，就是s_p，其計(jì)算式表示為:
    

　　式中的m是所用的被測(cè)量個(gè)數(shù)，上例中為10，式中的n是每個(gè)被測(cè)量的次數(shù)，上例為4。按上例，這樣得出的s_p的自由度υ=m(n-1)=30，也就是測(cè)量次數(shù)減被測(cè)量的個(gè)數(shù)。
　　如果這10個(gè)被測(cè)量每次測(cè)量的次數(shù)并非都是4次，而是各不盡相同，則可以分別計(jì)算每一次的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差(按貝塞爾公式)s_i，通過(guò)這10個(gè)不同的s_i及其相應(yīng)不同的自由度ν_i(按n-1)由下式得出s_p，即
    

　　這時(shí)得到的s_p的自由度按測(cè)量次數(shù)減被測(cè)量個(gè)數(shù)即∑ν_i。
　　此外，還可以通過(guò)一個(gè)被測(cè)量的兩次測(cè)量結(jié)果之差Δ來(lái)求一次測(cè)量結(jié)果分散性標(biāo)準(zhǔn)差。例如:10個(gè)被測(cè)量，每個(gè)均測(cè)了兩次，得到10個(gè)差值Δ_i，按貝塞爾公式計(jì)算差值Δ_i的標(biāo)準(zhǔn)偏差s(Δ_i)為:
    

　　式中:按本例n=10，為10個(gè)差值的算術(shù)平均值，s(Δ_i)的自由度為n-1，本例則為9。由于單次測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差s(x_i)與s(Δ_i)之間有:
　　因此，用這一方法得出的s(Δ_i)還要除以就是s_p，即單次測(cè)量結(jié)果x_i的合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差。采用這種方法時(shí)，應(yīng)有較多的被測(cè)量，以使其自由度足夠大，一般應(yīng)有20個(gè)以上。由于每個(gè)被測(cè)量只進(jìn)行兩次測(cè)量，實(shí)用中不少情況下是方便的，特別是被測(cè)量本身不很穩(wěn)定的情況下，這一方法有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)。

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　　5.4  不等精度加權(quán)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差如何計(jì)算？
　　不管是重復(fù)性條件還是復(fù)現(xiàn)性條件下，只要是處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)下，均可按貝塞爾公式計(jì)算單次測(cè)量結(jié)果或平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，這種情況下，我們把這些進(jìn)入貝塞爾公式的結(jié)果認(rèn)為是等精度的，但如果對(duì)同一被測(cè)量的若干個(gè)測(cè)量結(jié)果的不確定度各不相等，就是非等精度的測(cè)量結(jié)果，通過(guò)這些結(jié)果求出該被測(cè)量的最佳估計(jì)時(shí)，應(yīng)按加權(quán)平均的辦法處理，其不確定度的計(jì)算也要考慮各個(gè)結(jié)果的權(quán)，權(quán)是表示各個(gè)測(cè)量結(jié)果可靠程度的一個(gè)比值。我們過(guò)去說(shuō)權(quán)與誤差的平方成反比，實(shí)際上是與不確定度的平方成反比，或說(shuō)與方差成反比。由于不確定度有幾種不同表達(dá)形式(u，ku，k_pu)(參見(jiàn)3.4與3.5)，在權(quán)的計(jì)算中，應(yīng)使各個(gè)結(jié)果的不確定度換算成用同一種不確定度給出。
　　例如:對(duì)一個(gè)被測(cè)量有以下三個(gè)測(cè)量結(jié)果:
　　y₁=(1000.045±0.010)mm，k=2
　　y₂=(1000.015±0.020)mm，k=1
　　y₃=(1000.060±0.020)mm，p=95
　　以上三個(gè)結(jié)果±號(hào)后都是不確定度，但包含因子k不同，第三個(gè)則是用擴(kuò)展不確定度U₉₅給出的，在進(jìn)行加權(quán)平均時(shí)，應(yīng)把他們換算成同一種，通常是都算成k=1的標(biāo)準(zhǔn)差，成為:
　　y₁=(1000.045±0.005)mm，k=1
　　y₂=(1000.015±0.020)mm，k=1
　　y₃=(1000.060±0.010)mm，k=1
　　設(shè)這三個(gè)結(jié)果的權(quán)分別為p₁，p₂與p₃，當(dāng)設(shè)其中不確定度最大者p₂為1時(shí)，應(yīng)有共同分子(20μm)²，得
    

　　加權(quán)平均值按
　　y=∑q_iy_i/∑q_i
　　計(jì)算，得
　　

　　y的標(biāo)準(zhǔn)偏差按
    

　　上式中的v_i，也是殘差，等于y_i-y，m則為y_i的個(gè)數(shù)，本例中m=3。
　　s(y)=6.5μm
　　有些書(shū)上把稱(chēng)為單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)偏差，以簡(jiǎn)化計(jì)算。

　　5.5  直線擬合中表征曲線擬合參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度如何評(píng)定？
　　直線擬合為最常用也最簡(jiǎn)單的一種，它給出兩個(gè)變量x、y間的線性關(guān)系。通過(guò)測(cè)量出一組數(shù)據(jù)(x_i，y_i)，i=1，2，…，N，得到的一條直線y=mx+b應(yīng)該是所有這些點(diǎn)(x_i，y_i)與這條直線垂直距離之差的平方和為最小，所謂最小二乘即此意。式中m是直線斜率(也稱(chēng)回歸系數(shù))，b是直線在y軸上的截距，m由下式可算出:
    　　

　　例如:求測(cè)出的點(diǎn)(-5，-4)，(-1，-2)，(3，4)，(5，6)，(8，7)，(10，10)，(15，12)這7個(gè)點(diǎn)，N=7的計(jì)算列表如下:
    

　　斜率
　　y軸截距b=4.71-0.858×5=0.426
　　由此給出的回歸方程為:
　　y=0.858x+0.426
　　以上所得出的m及b的標(biāo)準(zhǔn)偏差s(m)及s(b)的計(jì)算如下。
　　先出y_i的標(biāo)準(zhǔn)偏差s(y)，按貝塞爾公式
    

　　式中y_i是按測(cè)量給出的，而y則是得到的式子給出的。上式的2是由于這里有兩個(gè)被測(cè)量。然后按下式分別評(píng)定m及b的標(biāo)準(zhǔn)偏差為:
    

　　列出計(jì)算表:
    

　　 得:
    

　　自由度均為ν=N-2=5。

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　　5.6  A類(lèi)評(píng)定方法有什么主要特點(diǎn)？
　　a.比B類(lèi)方法更為客觀；
　　b.較具有統(tǒng)計(jì)學(xué)的嚴(yán)格性；
　　c.要求給定條件下的多次重復(fù)觀測(cè)；
　　d.所得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差，其可靠程度與重復(fù)觀測(cè)次數(shù)有關(guān)；
　　e.計(jì)算較為復(fù)雜。

　　5.7  在采用A類(lèi)方法評(píng)定時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題？
　　a.盡可能在重復(fù)測(cè)量中的各次觀測(cè)值相互獨(dú)立，例如:重新抽樣、重新配制標(biāo)準(zhǔn)溶液、重新調(diào)整測(cè)量?jī)x器的零位；
　　b.所有假定為隨機(jī)性的效應(yīng)是否在整個(gè)實(shí)驗(yàn)中確是隨機(jī)的，他們的分布均值以及方差是否不變，是否存在未知的漂移；
　　c.重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性條件應(yīng)充分保證；
　　d.影響量不應(yīng)超出允許范圍；
　　e.當(dāng)某種測(cè)量只進(jìn)行了一次，并未在重復(fù)性條件下或復(fù)現(xiàn)性條件下多次觀測(cè)時(shí)，未必不存在A類(lèi)評(píng)定方法。例如，采用合并樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差s_p。

　　5.8  是否有可能在測(cè)量不確定度評(píng)定中，就只有一個(gè)A類(lèi)不確定度？
　　當(dāng)只有一個(gè)A類(lèi)不確定度分量起主要作用，其他的不確定度分量之值甚小而可忽略不計(jì)的情況下，在評(píng)定測(cè)量不確定度時(shí)就只有這一個(gè)A類(lèi)分量。例如在樣品元素分析中，對(duì)樣品的消化所帶來(lái)的不確定度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于分析儀器的不確定度及其他分量。又如對(duì)樣品熱導(dǎo)率的測(cè)量中，重復(fù)條件下的分散性標(biāo)準(zhǔn)差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于所用測(cè)量?jī)x器的不確定度分量等。

　　5.9  A類(lèi)評(píng)定方法的舉例
　　設(shè)重復(fù)性條件下，測(cè)量某一電流的8次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)值I_i為:130，141，120，110，118，124，146，128 mA，其平均值為127 mA，按貝塞爾公式，單次觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度:
　　s(I_i)=11.9 mA=12 mA
　　平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差s():
　　
　　自由度ν=n-1=8-1=7

　　5.10  協(xié)方差的A類(lèi)評(píng)定中應(yīng)注意什么？
　　例如用同一個(gè)50kg的標(biāo)準(zhǔn)砝碼對(duì)兩個(gè)50kg的工作用砝碼進(jìn)行校準(zhǔn)，則在兩個(gè)校準(zhǔn)結(jié)果中既包含有校準(zhǔn)過(guò)程中隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度分量，也包含了所用同一標(biāo)準(zhǔn)砝碼證書(shū)上給出的實(shí)際值的不確定度這一系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度分量。后者的存在導(dǎo)致兩個(gè)50kg砝碼的校準(zhǔn)結(jié)果相關(guān)。這兩種分量的相對(duì)大小，決定了相關(guān)的強(qiáng)弱。如果上述第一種分量遠(yuǎn)小于第二種，則它們是強(qiáng)相關(guān)，否則為弱相關(guān)。相關(guān)程度的定量指標(biāo)為相關(guān)系數(shù)r，借助于有限次數(shù)(n次)的重復(fù)測(cè)量，通過(guò)協(xié)方差s()進(jìn)行A類(lèi)評(píng)定的計(jì)算式如下:
　　
　　式中:q_k是第一個(gè)被檢砝碼的第k個(gè)結(jié)果，r_k是第二個(gè)被檢砝碼的第k個(gè)結(jié)果。是第一個(gè)砝碼n個(gè)結(jié)果的算術(shù)平均值，則是第二個(gè)砝碼的平均值。當(dāng)然，q_k-以及r_k-就是它們各自的n個(gè)殘差。必須注意的是，應(yīng)由n個(gè)50kg標(biāo)準(zhǔn)砝碼來(lái)對(duì)這兩個(gè)50kg砝碼校準(zhǔn)而分別得出n對(duì)測(cè)量結(jié)果:q₁，r₁；q₂，r₂；…；q_n，r_n。而決不是用一個(gè)50kg標(biāo)準(zhǔn)砝碼對(duì)這兩個(gè)砝校重復(fù)校準(zhǔn)n次。
　　當(dāng)?shù)贸?I>s()后，可按下式
    

　　計(jì)算被校準(zhǔn)的兩個(gè)50kg的測(cè)量結(jié)果間的相關(guān)系數(shù)r。式中:s(q_k)與s(r_k)為按貝塞爾公式所計(jì)算的一次測(cè)量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。很明顯，本例中s(q_k)=s(r_k)。當(dāng)s()s(q_k)時(shí)，r≈1即強(qiáng)相關(guān)，而當(dāng)即不相關(guān)。
　　可以看出，這種評(píng)定方法雖然客觀，但需要較多的標(biāo)準(zhǔn)器、實(shí)驗(yàn)過(guò)程與計(jì)算也較復(fù)雜，只有在特殊情況下(例如制定檢定規(guī)程)時(shí)才采用。