計量培訓(xùn):通用計量術(shù)語知識講座
中國計量科學(xué)研究院  施昌彥

一、測量誤差和相對誤差

　　1.[測量]誤差是指“測量結(jié)果減去被測量的真值”(5.16條)。
　　這個定義從20世紀(jì)70年代以來沒有發(fā)生過變化，以公式表示為:測量誤差=測量結(jié)果-真值。測量結(jié)果是由測量所得到的賦予被測量的值，是客觀存在的量的實驗表現(xiàn)，僅是對測量所得被測量之值的近似或估計，顯然它是人們認(rèn)識的結(jié)果，不僅與量的本身有關(guān)，而且與測量程序、測量儀器、測量環(huán)境以及測量人員等有關(guān)。真值是量的定義的完整體現(xiàn)，是與給定的特定量的定義完全一致的值，它是通過完善的或完美無缺的測量，才能獲得的值。所以，真值反映了人們力求接近的理想目標(biāo)或客觀真理，本質(zhì)上真值是不能確定的，量子效應(yīng)排除了唯一真值的存在，實際上用的是約定真值，須以測量不確定度來表征其所處的范圍。因而作為測量結(jié)果與真值之差的測量誤差，也是無法準(zhǔn)確得到或確切獲知的。

　　這里應(yīng)予指出的是:過去人們有時會誤用誤差一詞，即通過誤差分析給出的往往是被測量值不能確定的范圍，而不是真正的誤差值。按定義誤差與測量結(jié)果有關(guān)，即不同的測量結(jié)果有不同的誤差，合理賦予的被測量之值，各有其誤差而并不存在一個共同的誤差。一個測量結(jié)果的誤差，若不是正值(正誤差)就是負(fù)值(負(fù)誤差)，它取決于這個結(jié)果是大于還是小于真值。
　　如圖所示，被測量值為y，其真值為t，第i次測量所得的觀測值或測得值為y_i。由于誤差的存在使測得值與真值不能重合，設(shè)測得值呈正態(tài)分布N(μ，σ)，則分布曲線在數(shù)軸上的位置(即μ值)決定了系統(tǒng)誤差的大小，曲線的形狀(按σ值)決定了隨機(jī)誤差的分布范圍[μ-kσ，μ+kσ]及其在范圍內(nèi)取值的概率。由圖可見，誤差和它的概率分布密切相關(guān)，可以用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的方法來恰當(dāng)處理。實際上，誤差可表示為:
　　誤差=測量結(jié)果-真值=(測量結(jié)果-總體均值)+(總體均值-真值)=隨機(jī)誤差+系統(tǒng)誤差
    

　　因此，任意一個誤差Δ_i均可分解為系統(tǒng)誤差ε_i和隨機(jī)誤差δ_i的代數(shù)和(見5.19和5.20條)，即可用下式表示為Δ_i=ε_i+δ_i。實際上，測量結(jié)果的誤差往往是由若干個分量組成的，這些分量按其特性均可分為隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差兩大類，而且無例外地取各分量的代數(shù)和，換言之，測量誤差的合成只用“代數(shù)和”方式。
　　不要把誤差與不確定度混為一談。測量不確定度表明賦予被測量之值的分散性，它與人們對被測量的認(rèn)識程度有關(guān)，是通過分析和評定得到的一個區(qū)間。測量誤差則是表明測量結(jié)果偏離真值的差值，它客觀存在但人們無法準(zhǔn)確得到 。例如:測量結(jié)果可能非常接近于真值(即誤差很小)，但由于認(rèn)識不足，人們賦予的值卻落在一個較大區(qū)間內(nèi)(即測量不確定度較大)；也可能實際上測量誤差較大，但由于分析估計不足，使給出的不確定度偏小。國際上開始研制成功銫原子頻率標(biāo)準(zhǔn)時，經(jīng)分析其測量不確定度達(dá)到10^-15量級，運行一段時間后，發(fā)現(xiàn)有一項重要因素不可忽視，經(jīng)再次分析和評定，不確定度擴(kuò)大到10^-14量級，這說明人們的認(rèn)識提高了。因此，在評定測量不確定度時應(yīng)充分考慮各種影響因素，并對不確定度的評定進(jìn)行必要的驗證。
　　當(dāng)有必要與相對誤差相區(qū)別時，此術(shù)語有時稱為測量的絕對誤差。注意不要與誤差的絕對值相混淆，后者為誤差的模。

　　2.相對誤差是指“測量誤差除以被測量的真值”(5.18條)。
　　設(shè)測量結(jié)果y減去被測量約定真值t，所得的誤差或絕對誤差為Δ。按定義將絕對誤差Δ除以約定真值t，即可求得相對誤差為δ=Δ/t×100%=(y-t)/t×100%。所以，相對誤差表示絕對誤差所占約定真值的百分比，它也可用數(shù)量級來表示所占的份額或比例，即表示為
　　δ=[(y/t-1)×10ⁿ]×10^-n
　　當(dāng)被測量的大小相近時，通常用絕對誤差進(jìn)行測量水平的比較。當(dāng)被測量值相差較大時，用相對誤差才能進(jìn)行有效的比較。例如:測量標(biāo)稱值為10.2mm的甲棒長度時得到實際值為10.0mm，其示值誤差Δ=0.2mm；而測量標(biāo)稱值為100.2mm的乙棒長度時得到實際值為100.0mm，其示值誤差Δ′=0.2mm。它們的絕對誤差雖然相同，但乙棒的長度是甲棒的10倍左右，顯然要比較或反映兩者不同的測量水平，還須用相對誤差或誤差率的概念。即δ=0.2/10.0=2%，而δ′=0.2/100.0=0.2%，所以乙棒比甲棒準(zhǔn)確，或者用數(shù)量級表示為δ=2×10^-2，δ′=2×10^-3，從而也反映出后者的測量水平高于前者一個數(shù)量級。

　　另外，在某些場合下應(yīng)用相對誤差還有方便之處。例如:已知質(zhì)量流量計的相對誤差為δ，用它測定流量為Q(kg/s)的某管道所通過的流體質(zhì)量及其誤差。經(jīng)過時間T(s)后流過的質(zhì)量為QT(kg)，故其絕對誤差為QδT(kg)。所以，質(zhì)量的相對誤差仍為QδT/(QT)=δ，而與時間T無關(guān)。
　　還應(yīng)指出的是:絕對誤差與被測量的量綱相同，而相對誤差是量綱一的量或無量綱量。 

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　　二、隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差

　　1.隨機(jī)誤差是指“測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差”(5.19條)。
　　這是1993年由BIPM、IEC、ISO、OIML等國際組織做了原則修改后的新定義。它表明測量結(jié)果是真值、系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差這三者的代數(shù)和；而測量結(jié)果與無限多次測量所得結(jié)果的平均值(即總體均值)差，則是這一測量結(jié)果的隨機(jī)誤差分量。隨機(jī)誤差等于誤差減去系統(tǒng)誤差。1993年前，隨機(jī)誤差被定義為在同一量的多次測量過程中，以不可預(yù)知方式變化的測量誤差的分量。
　　老定義中這個以不可預(yù)知方式變化的分量，是指相同條件下多次測量時誤差的絕對值和符號變化不定的分量，它時大時小、時正時負(fù)、不可預(yù)定。例如:天平的變動性、測微儀的示值變化等，都是隨機(jī)誤差分量的反映。事實上，多次測量時的條件不可能絕對地完全相同，多種因素的起伏變化或微小差異綜合在一起，共同影響而致使每個測得值的誤差以不可預(yù)定的方式變化。現(xiàn)在，隨機(jī)誤差是按其本質(zhì)進(jìn)行定義的，但可能確定的只是其估計值，因為測量只能進(jìn)行有限次數(shù)，重復(fù)測量也是在“重復(fù)性條件”下進(jìn)行的(見5.6條)。就單個隨機(jī)誤差估計值而言，它沒有確定的規(guī)律；但就整體而言，卻服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，故可用統(tǒng)計方法估計其界限或它對測量結(jié)果的影響。

　　隨機(jī)誤差大抵來源于影響量的變化，這種變化在時間上和空間上是不可預(yù)知的或隨機(jī)的，它會引起被測量重復(fù)觀測值的變化，故稱之為“隨機(jī)效應(yīng)”?？梢哉J(rèn)為正是這種隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致了重復(fù)觀測中的分散性，我們用統(tǒng)計方法得到的實驗標(biāo)準(zhǔn)[偏]差是分散性，確切地說是來源于測量過程中的隨機(jī)效應(yīng)，而并非來源于測量結(jié)果中的隨機(jī)誤差分量。
　　隨機(jī)誤差的統(tǒng)計規(guī)律性，主要可歸納為對稱性、有界性和單峰性三條:

　　1.對稱性是指絕對值相等而符號相反的誤差，出現(xiàn)的次數(shù)大致相等，也即測得值是以它們的算術(shù)平均值為中心而對稱分布的。由于所有誤差的代數(shù)和趨近于零，故隨機(jī)誤差又具有抵償性，這個統(tǒng)計特性是最為本質(zhì)的；換言之，凡具有抵償性的誤差，原則上均可按隨機(jī)誤差處理。
　　2.有界性是指測得值誤差的絕對值不會超過一定的界限，也即不會出現(xiàn)絕對值很大的誤差。
　　3.單峰性是指絕對值小的誤差比絕對值大的誤差數(shù)目多，也即測得值是以它們的算術(shù)平均值為中心而相對集中地分布的。

　　2.系統(tǒng)誤差是指“在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差”(5.20條)。
　　由于只能進(jìn)行有限次數(shù)的重復(fù)測量，真值也只能用約定真值代替，因此如真值一樣，系統(tǒng)誤差及其原因不能完全獲知可能確定的系統(tǒng)誤差，只是其估計值，并具有一定的不確定度。這個不確定度也就是修正值的不確定度，它與其他來源的不確定度分量一樣貢獻(xiàn)給了合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。值得指出的是:不宜按過去的說法把系統(tǒng)誤差分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差，也不宜說未定系統(tǒng)誤差按隨機(jī)誤差處理。因為這里所謂的未定系統(tǒng)誤差，其實并不是誤差分量而是不確定度；而且所謂按隨機(jī)誤差處理，其概念也是不容易說得清楚的。
　　系統(tǒng)誤差大抵來源于影響量，它對測量結(jié)果的影響若已識別并可定量表述，則稱之為“系統(tǒng)效應(yīng)”(systematic effect)。該效應(yīng)的大小若是顯著的，則可通過估計的修正值予以補(bǔ)償。例如:高阻抗電阻器的電位差(被測量)是用電壓表測量的，為減少電壓表負(fù)載效應(yīng)給測量結(jié)果帶來的“系統(tǒng)效應(yīng)”，應(yīng)對該表的有限阻抗進(jìn)行修正。但是，用以估計修正值的電壓表阻抗與電阻器阻抗(它們均由其它測量獲得)，本身就是不確定的。這些不確定度可用于評定電位差的測量不確定度分量，它們來源于修正，從而來源于電壓表有限阻抗的系統(tǒng)效應(yīng)。另外，為了盡可能消除系統(tǒng)誤差，測量器具須經(jīng)常地用計量標(biāo)準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)進(jìn)行調(diào)整或校準(zhǔn)；但是同時須考慮的是:這些標(biāo)準(zhǔn)自身仍帶著不確定度。

　　至于誤差限、最大允許誤差、可能誤差、引用誤差等術(shù)語，它們前面帶有正負(fù)(±)號，因而是一種可能誤差的分散區(qū)間，并不是某個測量結(jié)果的誤差。對于測量儀器而言，其示值的系統(tǒng)誤差稱為測量儀器的“偏移”(bias)，通常用適當(dāng)次數(shù)重復(fù)測量示值誤差的均值來估計。
　　過去所謂的“誤差傳播定律”，所傳播的其實并不是誤差，而是不確定度?，F(xiàn)在已改稱為“不確定度傳播定律”。還要指出的是:誤差一詞應(yīng)按其定義使用，不宜用它來定量表明測量結(jié)果的可靠程度。
　　歸納一下《通用計量術(shù)語及定義》5.16～5.20條以及5.9～5.14條的要點，可將測量誤差與測量不確定度之間存在的主要區(qū)別用下表簡示。
    

　　三、修正值、修正因子及偏差

　　1.修正值是指“用代數(shù)方法與未修正測量結(jié)果相加，以補(bǔ)償其系統(tǒng)誤差的值”(5.21條)。
　　含有誤差的測量結(jié)果，加上修正值后就可能補(bǔ)償或減少誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差不能完全獲知，因此這種補(bǔ)償并不完全。修正值等于負(fù)的系統(tǒng)誤差，這就是說加上某個修正值，就像扣掉某個系統(tǒng)誤差，其效果是一樣的，只是人們考慮問題的出發(fā)點不同而已:
　　真值=測量結(jié)果+修正值=測量結(jié)果-誤差
　　在量值溯源和量值傳遞中，常常采用這種加修正值的直觀的辦法。用高一個等級的計量標(biāo)準(zhǔn)來校準(zhǔn)或檢定測量儀器，其主要內(nèi)容之一就是要獲得準(zhǔn)確的修正值。例如:用頻率為fs的標(biāo)準(zhǔn)振蕩器作為信號源，測得某臺送檢的頻率計的示值為f，則示值誤差Δ為f-fs。所以，在今后使用這臺頻率計時應(yīng)扣掉這個誤差，即加上修正值(-Δ)，可得f+(-Δ)，這樣就與fs一致了。換言之，系統(tǒng)誤差可以用適當(dāng)?shù)男拚祦砉烙嫴⒂枰匝a(bǔ)償。但應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出:由于系統(tǒng)誤差不能完全獲知，因此這種補(bǔ)償是不完全的，也即修正值本身就含有不確定度。當(dāng)測量結(jié)果以代數(shù)和方式與修正值相加之后，其系統(tǒng)誤差之模會比修正前的要小，但不可能為零，也即修正值只能對系統(tǒng)誤差進(jìn)行有限程度的補(bǔ)償。

　　2.修正因子是指“為補(bǔ)償系統(tǒng)誤差而與未修正測量結(jié)果相乘的數(shù)字因子”(5.22條)。
　　含有系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果，乘以修正因數(shù)后就可以補(bǔ)償或減少誤差的影響。比方由于等臂天平的不等臂誤差，不等臂天平的臂比誤差，線性標(biāo)尺分度時的倍數(shù)誤差，以及測量電橋臂的不等稱誤差所帶來的測量結(jié)果中的系統(tǒng)誤差，均可以通過乘一個修正因數(shù)得以補(bǔ)償。但是，由于系統(tǒng)誤差并不能完全獲知，因而這種補(bǔ)償是不完全的，也即修正因數(shù)本身仍含有不確定度。
　　通過修正因子或修正值已進(jìn)行了修正的測量結(jié)果，即使具有較大的不確定度，但可能仍然十分接近被測量的真值(即誤差甚小)，因此，不應(yīng)把測量不確定度與已修正測量結(jié)果的誤差相混淆。

　　3.偏差是指“一個值減去其參考值”(5.17條)。
　　以測量儀器的偏差為例，它是從零件加工的“尺寸偏差”的概念引伸過來的。尺寸偏差是加工所得的某一實際尺寸，與其要求的參考尺寸或標(biāo)稱尺寸之差。相對于實際尺寸來說，由于加工過程中諸多因素的影響，它偏離了要求的或應(yīng)有的參考尺寸，于是產(chǎn)生了尺寸偏差，即
　　尺寸偏差=實際尺寸-應(yīng)有參考尺寸
　　對于量具也有類似情況。例如:用戶需要一個準(zhǔn)確值為1kg的砝碼，并將此應(yīng)有的值標(biāo)示在砝碼上；工廠加工時由于諸多因素的影響，所得的實際值為1.002kg，此時的偏差為+0.002kg。顯然，如果按照標(biāo)稱值1kg來使用，砝碼就有-0.002kg的示值誤差；而如果在標(biāo)稱值上加一個修正值+0.002kg后再用，則這塊砝碼就顯得沒有誤差了。這里的示值誤差和修正值，都是相對于標(biāo)稱值而言的。現(xiàn)在從另一個角度來看，這塊砝碼之所以具有-0.002kg的示值誤差，是因為加工發(fā)生偏差，偏大了0.002kg，從而使加工出來的實際值(1.002kg)偏離了標(biāo)稱值(1kg)。為了描述這個差異，引入“偏差”這個概念就是很自然的事，即
　　偏差=實際值-標(biāo)稱值=1.002kg-1.000kg=0.002kg
　　在此可見，定義中的偏差與修正值相等，或與誤差等值而反向。應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出的是:偏差相對于實際值而言，修正值與誤差則相對于標(biāo)稱值而言，它們所指的對象不同。所以在分析時，首先要分清所研究的對象是什么。還要提及的是:上述尺寸偏差也稱實際偏差或簡稱偏差，而常見的概念還有“上偏差”(最大極限尺寸與應(yīng)有參考尺寸之差)及“下偏差”(最小極限尺寸與應(yīng)有參考尺寸之差)，它們統(tǒng)稱為“極限偏差”。由代表上、下偏差的兩條直線所確定的區(qū)域，即限制尺寸變動量的區(qū)域，通稱為尺寸公差帶。