國(guó)家質(zhì)檢總局  李慎安

　　一、問(wèn)題的提出

　　在一個(gè)測(cè)量過(guò)程的數(shù)學(xué)模型中的兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入量X₁、X₂，……的估計(jì)值x₁，x₂，……之間，如果由于相同的原因?qū)е滤麄兂霈F(xiàn)了相互的聯(lián)系(同時(shí)都偏大或偏小地類似正比，或其一偏大另一偏小地類似反比)的現(xiàn)象，在不確定度評(píng)定中稱之為相關(guān)或互不獨(dú)立。

　　這種導(dǎo)致相關(guān)的原因一般有:
　　1.他們來(lái)自于同一測(cè)量?jī)x器或測(cè)量裝置，特別是當(dāng)x₁，x₂，……比較接近的情況下，會(huì)出現(xiàn)較大的相關(guān)性。
　　2.來(lái)自于相同的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)，例如:量塊、砝碼、量杯、量瓶、標(biāo)準(zhǔn)電阻、標(biāo)準(zhǔn)電池等計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)器，特別是當(dāng)檢測(cè)過(guò)程中隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的分散性較小的情況下，會(huì)出現(xiàn)較大的相關(guān)性。
　　3.在獲得x₁，x₂，……中使用了相同的參考數(shù)據(jù)。
　　當(dāng)輸入量估計(jì)值之間出現(xiàn)相關(guān)時(shí)，必然導(dǎo)致他們的協(xié)方差以及相關(guān)系數(shù)不為零。例如在輸入量x_i和x_j的估計(jì)值和的協(xié)方差的估計(jì)值是由n對(duì)獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)值X_ik，X_jk所得到等，按統(tǒng)計(jì)方法給出的式子為:
    

　　很明顯，只有上式右邊的兩個(gè)殘差符號(hào)相同時(shí)，其積為正，而求和時(shí)有正值，導(dǎo)致協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)估計(jì)值均為正，反之均為負(fù)。要用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)此進(jìn)行估計(jì)，則必須有n個(gè)儀器或計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)。這作為一般實(shí)驗(yàn)室很難做到，也就是本文所提出的問(wèn)題之一。
    此外，當(dāng)出現(xiàn)相關(guān)時(shí)，對(duì)輸出量Y的測(cè)量結(jié)果y的合成方差u_c²(y)，在JJF1059-1999《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》(以下簡(jiǎn)稱《JJF1059》)給出了一個(gè)計(jì)算式(22)。它比不相關(guān)情況下的合成只多了一項(xiàng)。
    

　　

　　而這一項(xiàng)的協(xié)方差u(x_i，x_j)如果代之以相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值
    

　　即可變成為:
    

    這就構(gòu)成了《JJF1059》的式(25)。在式(25)下面，給出了當(dāng)r(x_i,x_j)=+1的情況下，u_c(y)為由每個(gè)輸入估計(jì)值x_i的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x_i)產(chǎn)生的輸出估計(jì)值y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u_i(y)=c_iu(x_i)的線性和。這里的問(wèn)題是靈敏系數(shù)c_i是否應(yīng)按u_i(y)的定義取絕對(duì)值。就像《JJF1059》式(19)的式中對(duì)u_i(y)所作的定義。這就是本文所提出的問(wèn)題之二。
    《JJF1059》在討論r≠0情況下的合成中，給出了唯一的例子:
    當(dāng)標(biāo)稱值均為1kΩ的10個(gè)電阻器，用同一個(gè)值為R_s的標(biāo)準(zhǔn)電阻器校準(zhǔn)時(shí)，設(shè)校準(zhǔn)不確定度可忽略，檢定證書(shū)給出的R_s的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(R_s)=0.10Ω?，F(xiàn)將此10個(gè)電阻器用電阻可忽略的導(dǎo)線串聯(lián)，構(gòu)成標(biāo)稱值為10kΩ的參考電阻。
    在求R_ref的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)，對(duì)電阻器來(lái)說(shuō)r(R_i，R_j)=1，，u(x_i)=u(R_i)=u(R_s)，則
    

故得
    

    這個(gè)例題的解中，給出的r(R_i,R_j) =1顯然不是按其定義，根據(jù)重復(fù)觀測(cè)結(jié)果評(píng)定出來(lái)的，而只是按題意所提供的信息評(píng)定，即:校準(zhǔn)導(dǎo)致的分散性可忽略，因而R_i的不確定度u(R_i)中不再包含有隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的分量而只有一個(gè)分量就是R_s的u(R_s)所導(dǎo)致的這一系統(tǒng)效應(yīng)。從而R_s以1∶1的方式影響每個(gè)R_i的校準(zhǔn)值。使R_i均以相同的量值偏大或偏小。這就是r=+1的依據(jù)，無(wú)疑這是可行的，也是對(duì)的。但是，如果對(duì)R_i校準(zhǔn)過(guò)程中隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的分量u_rd(R_i)不能忽略不計(jì)，對(duì)u_c(R_ref)應(yīng)如何評(píng)定？這就是本文擬討論的問(wèn)題之三。
    

二、關(guān)于相關(guān)系數(shù)

r為1的非統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)與不確定度評(píng)定
    如果我們把《JJF1059》計(jì)算u_c²(y)的式子(25)簡(jiǎn)化一下，再用更為簡(jiǎn)單的符號(hào)以及設(shè)定只有兩個(gè)輸入量時(shí):
    設(shè):a=c₁u(x₁)
    b=c₂u(x₂)
    則式(25)成為:
    u_c²(y)=a²+b²+2abr如果r=0，就是x₁與x₂相互獨(dú)立的情況下的不確定度傳播律，即《JJF1059》中的式(18)和(19)。
    如果r=+1，則可得:
    u_c(y)=a+b
    把上式的右邊稱之為代數(shù)和較為妥當(dāng)。因?yàn)槲覀冊(cè)?I>a與b的設(shè)定中，并未取c₁和c₂的絕對(duì)值而保留其原有正或負(fù)的符號(hào)。
    例如對(duì)有機(jī)化工產(chǎn)品中灰分的測(cè)定，樣品中灰分含量的質(zhì)量分?jǐn)?shù)w按下式計(jì)算:
    w=(m₁-m₂)/m
    式中:m₁——坩堝加灰分的質(zhì)量；m₂——坩堝質(zhì)量；m——試樣質(zhì)量。
    m₁、m₂及m均用同一臺(tái)自動(dòng)顯示電子天平測(cè)出。最大允許誤差MPE=±5mg，設(shè)其重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)偏差s_r=4mg。
    如果測(cè)得m=50.000g；m₁=40.100g；m₂=40.000g。
    很明顯，如果不考慮空氣浮力、溫度等導(dǎo)致的對(duì)測(cè)量結(jié)果分散性的影響(事實(shí)上，這種檢測(cè)中的這類影響可忽略不計(jì))，那么，他們的不確定度u(m)、u(m₁)和u(m₂)都各有兩個(gè)分量，其一是天平示值的零修正Δm的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(Δm)=|MPE|×均勻分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差轉(zhuǎn)換系數(shù)b∶0.6=5mg×0.6=3mg；另一是s_r。
    針對(duì)其分子，灰分質(zhì)量m₃來(lái)說(shuō)，m₃=m₁-m₂=0.1g。m₃的不確定度由4個(gè)分量組成，其中，兩個(gè)3mg與兩個(gè)s_r=4mg。
    u(m₁)的兩個(gè)分量，其靈敏系數(shù)均為+1；而u(m₂)的兩個(gè)分量，其靈敏系數(shù)均為-1。由于m₁與m₂相差甚小，這里為0.1g，對(duì)于所用電子天平來(lái)說(shuō)，他們是很鄰近的兩個(gè)示值，因而有理由認(rèn)為40.100g與40.000g這兩個(gè)值受相同示值誤差的影響而同時(shí)偏大或偏小了同一個(gè)值，我們說(shuō)m₁與m₂這兩個(gè)輸入量在估計(jì)值正相關(guān)而且r=+1。而它們的s_r由于來(lái)自隨機(jī)效應(yīng)而彼此獨(dú)立。
    根據(jù)《JJF1059》前言中所表明的評(píng)定不確定度方法中，與分量如何分組無(wú)關(guān)的原則，我們可以把這兩個(gè)r=+1的分量先行合成，其一為c₁u(m₁)=+1×3mg，另一為c₂u(m₂)=-1×3mg=-3mg，其代數(shù)和為零。剩下的兩個(gè)分量4mg由于r=0而應(yīng)按方和根計(jì)算為，這就是灰分m₃的測(cè)量結(jié)果0.1g的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。即分子的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，至于分母m=50.000g的不確定度u(m)則按彼此獨(dú)立的兩個(gè)分量4mg與3mg合成為
    

    以下采用分子m₃與分母m的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度按方和根來(lái)求w的相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_crel(w):
    u_rel(m₃)=5.7mg/0.1g=5.7×10^-2
    u_rel(m)=5mg/50g=1×10^-4
    很明顯u_crel(w)只決定于u_rel(m₃)為5.7×10^-2
    由于w=0.1g/50g=0.002=0.2%
    u_c(w)=u_crel(w)·w
    =5.7×10^-2×0.002=0.012%
    如按包含因子k=2給出擴(kuò)展不確定度
    U=2×0.012%=0.024%
    測(cè)量結(jié)果給出:
    w=(0.200±0.024)%(k=2)
    可以看出，由于m₁與m₂的相關(guān)導(dǎo)致m₃的不確定度大為減小，這就是為什么來(lái)自于不同符號(hào)的靈敏系數(shù)在評(píng)定中不是取絕對(duì)值的原因。
    

三、相關(guān)系數(shù)

r既不能估計(jì)為+1或-1，又不能估計(jì)為零的不確定度評(píng)定
    在相關(guān)系數(shù)接近于+1或-1時(shí)，令其為+1或-1進(jìn)行合成的評(píng)定是恰當(dāng)?shù)模谟行┣闆r下，既不能估計(jì)為+1或-1，而又不能估計(jì)輸入量估計(jì)值彼此獨(dú)立，即r=0，有的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中(例如德國(guó)標(biāo)準(zhǔn)DIN1319-3:1996《單一被測(cè)量的不確定度評(píng)定》)建議給出r=+0.5或-0.5。
    例如:在使用天平測(cè)量某一質(zhì)量Y=M時(shí)(這里Y作為輸出量符號(hào))，分別采用了兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)砝碼X₁=M₁和X₂=M₂(這里X₁與X₂作兩個(gè)獨(dú)立的輸入量)，與之平衡而得出M=M₁+M₂，而質(zhì)量M₁與M₂在事先是用同一個(gè)參考標(biāo)準(zhǔn)砝碼(計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)器)進(jìn)行校準(zhǔn)的，參考標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量X_q=M₀。
    如果在對(duì)M₁與M₂進(jìn)行校準(zhǔn)時(shí)，校準(zhǔn)過(guò)程中的不確定度分量(隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的分散性)大大小于M₀的不確定度，則相關(guān)系數(shù)r(m₁,m₂)接近于+1，而導(dǎo)致:
    u(m₁，m₂)=u(m₁)u(m₂)
    而有
    u(m)=u(m₁)+u(m₂)
    而當(dāng)對(duì)M₁和M₂進(jìn)行校準(zhǔn)時(shí)，校準(zhǔn)過(guò)程中的不確定度分量遠(yuǎn)大于M₀的不確定度，即可設(shè)定相關(guān)系數(shù)r(m₁,m₂)接近于零，即相互獨(dú)立從而導(dǎo)致
    u²(m)=u²(m₁)+u²(m₂)
    然而，在M₁與M₂的校準(zhǔn)中，是否用了同一參考標(biāo)準(zhǔn)砝碼不能肯定的情況下，也就是既有可能是同一個(gè)，也有可能是不同的參考標(biāo)準(zhǔn)砝碼，則可估計(jì)相關(guān)系數(shù)
    r(m₁,m₂)=+0.5
    這時(shí)
    u²(m)=u²(m₁)+u²(m₂)+u(m₁)×u(m₂)
    設(shè)用兩個(gè)標(biāo)稱值均為200g的砝碼m₁與m₂組成質(zhì)量m=400g，其數(shù)學(xué)模型
    m=m₁+m₂
    如m₁與m₂在校準(zhǔn)中所用標(biāo)準(zhǔn)砝碼質(zhì)量m₀的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(m₀)=0.01g，設(shè)校準(zhǔn)過(guò)程中出現(xiàn)的隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的分散性可忽略不計(jì)，則可認(rèn)為m₁與m₂的校準(zhǔn)值是強(qiáng)相關(guān)而可估計(jì)為r=+1，由于它們的靈敏系數(shù)c₁=c₂=+1，m的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度
    u_c(m)=u(m₁)+u(m₂)
    =2×0.01g
    =0.02g
    但如果對(duì)m₁和m₂校準(zhǔn)時(shí)并非使用同一標(biāo)準(zhǔn)砝碼而是各用了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)砝碼，它們的標(biāo)準(zhǔn)不確定度相同，均為0.01g，這時(shí)，如仍可認(rèn)為校準(zhǔn)過(guò)程中導(dǎo)致的分散性可以忽略，則可以認(rèn)為m₁與m₂的校準(zhǔn)值彼此獨(dú)立，即r=0，由于c₁=c₂=+1，輸出量m的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度
    

    第三種情況是不能肯定m₁與m₂的校準(zhǔn)是否用的是同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)m₀，還是分別各用了一個(gè)。這兩種可能均存在，這時(shí)，應(yīng)估計(jì)r=+0.5得
    

    根據(jù)以上的討論和例子，當(dāng)兩個(gè)輸入量估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度絕對(duì)值相等且均為1的情況下，相關(guān)系數(shù)r=+1和r=+0.5，它們的靈敏系數(shù)符號(hào)相同和不相同的情況下，這一系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度分量的合成可給出為下表
    

    可以得出一個(gè)近似的結(jié)論:這類數(shù)學(xué)模型中當(dāng)c₁=c₂的情況下，對(duì)r的評(píng)定為1或0.5，影響u_c(y)不大，但c₁=-c₂時(shí)，r的評(píng)定為1或0.5對(duì)u_c(y)有明顯影響。
    與上述情況相仿，可以導(dǎo)出r=-1和-0.5的結(jié)果，從略。
    

四、隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的分散性不能忽略情況下輸出量

Y估計(jì)值y合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算
    在本文開(kāi)頭“問(wèn)題的提出”中問(wèn)題之三的例中，設(shè)校準(zhǔn)過(guò)程的不確定度u_rd(R_i)=0.2Ω，顯然不能忽略，如果把10個(gè)R_i的不確定度u(R_i)的兩個(gè)分量:u(R_s)與u_rd(R_i)先行合成:
    

    而串聯(lián)后的電阻R_ref的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c(R_ref)由這10個(gè)u(R_i)合成，這就出現(xiàn)了R_i之間相關(guān)系數(shù)的評(píng)定問(wèn)題，從現(xiàn)有信息來(lái)考慮r不能是+1，但也不能是零。比較可靠的評(píng)定方法是不進(jìn)行u(R_s)與u_rd(R_i)的合成而是按u_c(R_ref)有20個(gè)分量。其中10個(gè)u(R_s)=0.1Ω，它們之間屬于r=+1的相關(guān)。另10個(gè)u_rd(R_i)屬于隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的分散性而相互獨(dú)立，按r=0進(jìn)行合成。也就是把系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的分散性與隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的分散性分別先行合成，得到
    來(lái)自R_s的10個(gè)合成為:10×0.1Ω=1.0Ω；
    來(lái)自校準(zhǔn)過(guò)程的10個(gè)合成為:
    

    這兩部分間彼此獨(dú)立而可按方合根得出